Разпределението на Поасон е дискретно разпределение на вероятностите, което моделира честотата на определени събития през определен интервал от време въз основа на средната честота на възникване на тези събития.
С други думи, разпределението на Поасон е дискретно разпределение на вероятностите, което само чрез познаване на събитията и тяхната средна честота на възникване можем да узнаем тяхната вероятност.
Израз на разпределението на Поасон
Като се има предвид дискретна случайна променлива X, ние казваме, че нейната честота може да бъде апроксимирана задоволително до разпределение на Поасон, така че:
За разлика от нормалното разпределение, разпределението на Поасон зависи само от един параметър, mu (маркиран в жълто).
Mu отчита очаквания брой събития, които ще се случат в зададен интервал от време. Когато говорим за нещо „очаквано“, трябва да го пренасочим, за да мислим за средното. Следователно mu е средната стойност на честотата на събитията.
Както средната стойност, така и дисперсията на това разпределение са много строго положителни.
Представителство
Като се има предвид разпределението на Поасон със средно 2, разпределението на вероятността за плътност е както следва:
Функцията е дефинирана само за целочислени стойности на x.
Не всички разпределения на вероятността за плътност на Поасон ще изглеждат еднакви, дори ако оставим пробата еднаква. Ако променим средната стойност, т.е. параметъра, от който зависи функцията, функцията също ще се промени.
Функция на плътността на вероятността (pdf)
Тази функция се разбира като вероятността случайната променлива X да вземе определена стойност x. Това е експоненциалът на отрицателната средна стойност, умножена по средната стойност, издигната към наблюдението и всички разделени по факториал на наблюдението.
Както беше посочено, за да знаем вероятността за всяко наблюдение, ще трябва да заместим всички наблюдения във функцията. С други думи, x е вектор с размерност n, който съдържа всички наблюдения на случайната променлива X. Средната стойност също би била вектор, но с едно измерение, така че:
След като имаме изчислените вероятности, заедно с наблюденията можем да изчертаем разпределението на плътността на вероятностите.
История
Името на това разпространение идва от създателя му, Симеон-Денис Поасон (1781-1840), френски математик и философ, който е искал да моделира честотата на събитията по време на фиксиран интервал от време. Той също така участва в усъвършенстването на закона на големите числа.
Приложение
Разпределението на Поасон се използва в областта на операционния риск, за да се моделират ситуации, в които възниква оперативна загуба. При пазарен риск процесът на Поасон се използва за време на изчакване между финансовите транзакции във високочестотни бази данни. Също така кредитният риск се взема предвид при моделирането на броя на фалитите.
Пример
Предполагаме, че сме в зимния сезон и искаме да отидем на ски преди декември. Вероятността ски курортите да се отворят преди декември е 5%. От 100-те ски курорта искаме да знаем вероятността най-близкият ски курорт да се отвори преди декември. Оценката на този ски курорт е 6 точки.
Входящите данни, необходими за изчисляване на функцията за вероятност на плътността на Поасон, са набор от данни и mu:
- Набор от данни = 100 ски курорта.
- Mu = 5% * 100 = 5 е очакваният брой ски курорти предвид данните.
Така че най-близката станция има 14,62% шанс да отвори преди декември.
Честотна вероятност