Обединението на събитията е операция, чийто резултат е съставен от всички неповторени елементарни събития, които два или повече набора имат общо, а не общо.
Тоест, като се имат предвид две групи A и B, обединението на A и B ще се формира от всички неповтарящи се множества, които имат A и B. Интуитивно, вероятността от обединение на събития от A и B би означавала отговор на въпрос: Каква е вероятността А да излезе или Б да излезе?
Символът за обединение на събитията е U. По такъв начин, че ако искаме математически да забележим обединението на две събития B и D, бихме го забелязали като: B U D.
Обобщение на обединението на събитията
Досега видяхме и посочихме обединението на две събития. Например A U B или B U D. Но какво, ако имаме три, четири и дори сто събития?
Това наричаме обобщение, т.е. формула, която ни помага да забележим обединението на събитията в тези случаи. Ако имаме 8 събития, вместо да напишем десетте събития, ще използваме следната нотация:
Вместо да извикваме всяко събитие A, B или каквато и да е буква, ние ще повикаме Yes. S е събитието и индексът i показва номера. По такъв начин, че ще имаме, приложен за примера на 10 събития, следното:
Това, което направихме, е да приложим предишната нотация и да я развием. Сега не винаги ще трябва. Особено когато става въпрос за голям брой събития.
Съюз на несъединени и несъединени събития
Това, което концепцията за разединени събития показва, е, че две събития нямат общи елементи.
Когато те са разделени, операцията за обединяване на събития е проста. Трябва само да добавите вероятностите и за двете, за да получите вероятността да се случи едно или друго събитие. Когато обаче събитията не се разделят, трябва да се добави малка подробност. Повтарящите се елементи трябва да бъдат премахнати. Например:
Да предположим, че интервалът на резултатите преминава от 1 до 5. Събитията са както следва:
Събитие А: (1,2,4) -> 60% вероятност = 0,6
Събитие Б: (1,4,5) -> 60% вероятност = 0,6
Операцията A U B, интуитивно, би била да добавим събитията от A и събитията от B, но ако направим това, вероятността ще бъде 1,2 (0,6 + 0,6). И както показват аксиомите на вероятностите, вероятността винаги трябва да бъде между 0 и 1. Как да го разрешим? Изваждане на пресичането на събития A и B. Тоест премахване на повтарящите се елементи:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Ако се обърнем към вероятностите, трябва да:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
Всъщност вероятността да се появи 1 или 2 или 4 или 5. Ако приемем, че всички числа имат еднаква вероятност да се случат е 80%.
Графично би изглеждало така:
Event Union Properties
Обединението на събитията е вид математическа операция. Някои видове операции са също събиране, изваждане, умножение. Всеки от тях има поредица от свойства. Например знаем, че резултатът от добавянето на 3 + 4 е точно същият като този от добавянето на 4 +3. На този етап обединението на събитията има няколко свойства, които си струва да се знаят:
- Комутативно: Това означава, че редът, в който е написан, не променя резултата. Например:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- Асоциативно: Ако приемем, че има три събития, не ни интересува кое първо да направим и кое следващо. Например:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Разпределително: Когато включим типа операция на пресичане, разпределителното свойство се запазва. Просто погледнете следния пример:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Пример за обединение на събития
Един прост пример за обединение на две събития A и B ще бъде следният. Да предположим случая с хвърлянето на перфектна матрица. Матрица, която има шест лица, номерирани от 1 до 6. По такъв начин, че събитията са определени по-долу:
ДА СЕ: Това, че е по-голямо от 2. (3,4,5,6) с вероятност е 4/6 => P (A) = 0.67
° С: Нека излязат пет. (5) с вероятност е 1/6 => P (C) = 0,17
Каква е вероятността за A U C?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Тъй като P (A) и P (C) вече го имат, ще изчислим P (A ∩ C)
A ∩ C = (5) с вероятности P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17
Крайният резултат е:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
Вероятността да се търкаля по-голяма от 2 или че ще се търкаля 5 е 67%.
