Антисиметрична матрица - какво е това, определение и концепция

Антисиметричната матрица е квадратна матрица, при която елементите извън главния диагонал са симетрично равни, но тези под основния диагонал носят отрицателен знак.

С други думи, антисиметрична матрица е матрица, която има еднакъв брой редове (n) и колони (m), а елементите от двете страни на основния диагонал се допълват.

Тъй като елементите над и под главния диагонал са изместени, елементите на главния диагонал са нули.

Препоръчителна статия: несиметрична матрица и симетрична матрица.

Характеристики на антисиметричната матрица

Характеристиките на антисиметрична матрица са:

• Квадратна матрица.
• Симетрична матрица + отрицателен знак (-) в елементите под основния диагонал.
• Елементите на главния диагонал са нули (0).

Антисиметрична матрица

Дадена квадратна матрица ACE,

Можем да видим как едни и същи елементи се появяват от двете страни на главния диагонал, но с особеността, че елементите под главния диагонал имат отрицателен знак отпред. Също така, основният диагонал се състои от нули.

Антисиметричната матрица и огледала

По същия начин като симетричната матрица, антисиметричната матрица може да бъде разбрана и чрез примера на огледалото.

Ако се погледнем в огледалото и вдигнем дясната си ръка, ще видим, че човекът в огледалото повдига лявата си ръка. С други думи, движението на огледалото допълва нашето и следователно сумата от двете би довела до нула.

Можем да изразим горната идея по следния начин и да изведем:

(Вдигни ръка нали) - (Вдигни ръка наляво) = 0

(Вдигни ръка нали) = (Вдигни ръка наляво)

Основният диагонал действа като огледало и виждаме противоположни елементи от двете страни на главния диагонал. Неутралната функция (=) се преобразува в основния диагонал.

Имот

• Транспонираната матрица на антисиметрична матрица е равна на антисиметричната матрица, умножена по (-1).

С други думи, това би било като добавяне на отрицателен знак пред антисиметричната матрица.

Математически,

Можем да видим, че и при двете процедури стигаме до един и същ резултат: превръщане на матрицата в транспониране или умножаване по (-1) на антисиметричната матрица.

Несиметрична матрица срещу Антисиметрична матрица срещу Симетрична матрица

Примерът с огледалото в случая на симетричната матрица е достатъчен, че отразява същото движение, тоест, ако вдигнем ръка, можем да видим повдигната ръка, но не е необходимо да се уточнява каква е тя. В случая на антисиметричната матрица, трябва да проверим коя ръка виждаме в огледалото и да определим дали е антисиметрична матрица.

Ако вдигнем ръка и в огледалото виждаме, че …

• Същата ръка се повдига, от гледна точка на човека в огледалото, тогава тя е симетрична матрица.

• Противоположната ръка е повдигната, от гледна точка на човека в огледалото, тогава тя е антисиметрична матрица.

• Ако не е повдигната ръка или е повдигната повече от една, от гледна точка на човека в огледалото, тогава това е несиметрична матрица.