Обратната матрица е линейната трансформация на матрица чрез умножаване на обратната на детерминанта на матрицата по прилежащата транспонирана матрица.
С други думи, обратна матрица е умножението на обратната на детерминанта по транспонираната прилежаща матрица.
Препоръчителни статии: детерминанта на матрица, квадратна матрица, основен диагонал и операции с матрици.
Като се има предвид всяка матрица X, такава че
Формула с обратна матрица на матрица от порядък 2
Тогава обратната матрица на X ще бъде
Използвайки тази формула, получаваме обратната матрица на квадратна матрица от порядък 2.
Горната формула може също да бъде изразена с детерминанта на матрицата.
Формула с обратна матрица на матрица от порядък 2
Двете успоредни линии около X в знаменателя показват, че той е детерминанта на матрицата X.
Когато квадратна матрица има обратна матрица, ние казваме, че тя е обикновена матрица.
Изисквания
За да намерим обратната матрица на матрица от порядък n, трябва да отговорим на следните изисквания:
- Матрицата трябва да бъде квадратна матрица.
Броят на редовете (n) трябва да бъде същият като броя на колоните (m). Тоест, редът на матрицата трябва да бъде n, като се има предвид, че n = m.
- Детерминантата трябва да е ненулева (0).
Детерминантата на матрицата трябва да е ненулева (0), тъй като тя участва във формулата като знаменател. Ако знаменателят беше нула (0), щяхме да имаме неопределеност.
Ако знаменателят (ad - bc) = 0, т.е. детерминантата на матрица X е равна на нула (0), тогава матрицата X няма обратна матрица.
Имот
Квадратна матрица X от ред n ще има обратна матрица X от порядък n, X-1, такъв, че да изпълнява това
Редът на елементите на умножението не е от значение, т.е. умножението на която и да е квадратна матрица по нейната обратна матрица винаги ще доведе до матрицата за идентичност от същия ред.
В този случай редът на матрицата X е 2. И така, можем да пренапишем предишното свойство като:
Практически пример
Намерете обратната матрица на матрица V.
За да разрешим този пример, можем да приложим формулата или първо да изчислим детерминантата и след това да я заместим.
Формула
Формула с детерминанта
Първо изчисляваме детерминантата на матрицата V и след това я заместваме във формулата.
И така, получаваме, че детерминантата на матрицата V е различна от нула (0) и можем да кажем, че матрицата V има обратна матрица.
Получаваме същия резултат, като използваме формулата или първо изчисляваме детерминанта и след това я заместваме.
Редът на обратната матрица е същият като реда на оригиналната матрица. В този случай ще имаме еднакъв брой редове n и колони m и в двете матрици V и V-1.
Транспонирана матрица