Крайни множества са тези, чиято мощност или брой елементи в него е равен на естествено число.
С други думи, краен набор е този, който има редица елементи, които могат да бъдат преброени. Като противоположност на безкраен набор, където елементите са неизброими.
По-формален начин да се изрази, че дадено множество е крайно, е, че елементите на това множество, които ще наречем M, могат да бъдат сдвоени с елементите на множеството (1, 2, …, n), които ще наречем N. Това е последователност от цели числа, където всеки елемент е равен на предишния, плюс единицата.
По този начин елементите на M и N могат да се сдвояват един по един (което е известно като кореспонденция един към един), без да се пропуска нито един елемент от двата набора.
Също така се казва, че M и N са еквипотентни, тоест за всеки елемент от M има елемент от N.
Освен това числото n (най-големият елемент от множеството N) съвпада с броя на елементите на M, където n е кардиналът, мощността или степента на N, а неговото означение е карта (N), | N | или #N.
Примери за крайни множества
Някои примери за крайни множества ще бъдат следните:
- Нечетни цели числа по-големи от 13 и по-малки от 29: (15, 17, 19, 21, 23, 25, 27)
- Океаните на Земята: Атлантически, Тихи, Индийски, Арктически, Антарктически
- Списъкът с двадесетте ученици, които принадлежат към класна стая.
Свойства на крайни множества
Сред основните свойства на крайните множества са тези, които са изложени по-долу:
- Обединението на две или повече крайни множества води до крайно множество.
- Пресичането (общите елементи) на краен набор с един или повече множества е краен.
- Подмножеството на краен набор също е краен.
- Подмножеството C на крайно множество M се характеризира с това, че има по-малък брой елементи от M. Тоест, вярно е, че: Ако C ⊊ M и | M | = n, тогава | C | <n (Символът ⊊ означава, че C е подходящо подмножество на M. Тоест, всички елементи на C се съдържат в M, но има поне един елемент от M, който не е в C).
- Наборът от мощности на краен набор M, който включва всички подмножества, които могат да бъдат формирани с елементите на множеството M (включително празния набор или ∅), е краен и има 2н елементи, където n е броят на елементите в М. Например, ако имаме:
(1, 3, 41)
Зададената мощност ще бъде: (∅, (1,3), (1,41), (3,41), (1), (3), (41), (1,3,41))
Както виждаме, степенният набор на краен набор от три елемента има осем (23) елементи.