Законът за големите числа е основна теорема на теорията на вероятностите, която показва, че ако повтаряме много пъти (с тенденция към безкрайност) един и същ експеримент, честотата на дадено събитие има тенденция да бъде константа.
Тоест, законът за големите числа показва, че ако един и същ тест се извършва многократно (например хвърляне на монета, хвърляне на рулетка и т.н.), честотата, с която ще се повтори определено събитие (идва нагоре глави или печат, числото 3 излиза черно и т.н.) ще се приближи до константа. Това от своя страна ще бъде вероятността това събитие да се случи.
Произход на закона за големите числа
Законът за големите числа е споменат за първи път от математика Джероламо Кардамо, макар и без никакви строги доказателства. По-късно Якоб Бернули успява да направи пълна демонстрация в своята работа „Ars Conjectandi“ през 1713 г. През 1830-те математикът Симеон Денис Поасон описва подробно закона на големите числа, който довежда до усъвършенстване на теорията. Други автори също ще направят по-късен принос.
Пример за закона на големите числа
Да предположим следния експеримент: хвърлете обща матрица. Сега нека разгледаме събитието, при което получаваме числото 1. Както знаем, вероятността числото 1 да излезе е 1/6 (матрицата има 6 лица, едното от тях е едно).
Какво ни казва законът за големите числа? Това ни казва, че докато увеличаваме броя на повторенията на нашия експеримент (правим повече хвърляния на матрицата), честотата, с която събитието ще се повтори (получаваме 1), ще се доближи до константа, която ще има равна стойност към неговата вероятност (1/6 или 16,66%).
Възможно е при първите 10 или 20 стартирания честотата, с която получаваме 1, да не е 16%, а друг процент като 5% или 30%. Но тъй като правим все повече и повече терени (да кажем 10 000), честотата, която се появява 1, ще бъде много близка до 16,66%.
В следващата графика виждаме пример за реален експеримент, при който матрицата се навива многократно. Тук можем да видим как се променя относителната честота на изчертаване на определен номер.
Както е посочено от закона за големите числа, при първите изстрелвания честотата е нестабилна, но тъй като увеличаваме броя на изстрелванията, честотата има тенденция да се стабилизира на определен брой, което е вероятността за настъпване на събитието (в този случай числа от 1 до 6, тъй като това е хвърляне на зарове).
Неправилно тълкуване на закона на големите числа
Много хора тълкуват погрешно закона на голям брой, вярвайки, че едно събитие ще надделее над друго. По този начин, например, те вярват, че тъй като вероятността числото 1 да се търкаля върху матрица трябва да бъде близо до 1/6, когато числото 1 не се появява на първите 2 или 5 валяка, е много вероятно следващия. Това не е вярно, тъй като законът за големите числа важи само за много повторения, така че можем да прекараме цял ден в търкаляне на матрица и да не достигнем 1/6 честота.
Хвърлянето на матрицата е независимо събитие и следователно, когато се появи определен брой, този резултат не оказва влияние върху следващото хвърляне. Само след хиляди повторения ще можем да проверим дали съществува законът за големите числа и че относителната честота на получаване на число (в нашия пример 1) ще бъде 1/6.
Погрешното тълкуване на теорията може да накара хората (особено комарджиите) да загубят пари и време.
Теорема на БайесЧестотна вероятностТеорема за централната граница