Очакваната стойност на случайна променлива е концепцията, аналогична на математическата алгебра, която разглежда средната аритметична стойност на набора от наблюдения на споменатата променлива.
С други думи, очакваната стойност на случайна променлива е стойността, която се появява най-често при повтаряне на експеримент многократно.
Свойства на очакваните стойности на случайна променлива
Очакваната стойност на случайна променлива има три свойства, които разработваме по-долу:
Собственост 1
За всяка константа g очакваната стойност на тази константа ще бъде изразена като E (g) и ще бъде същата константа g. Математически:
E (g) = g
Тъй като g е константа, тоест не зависи от никоя променлива, нейната стойност ще остане същата.
Пример
Каква е очакваната стойност на 1? С други думи, каква стойност приписваме на числото 1?
E (1) =?
Точно, присвояваме стойността 1 на число 1 и стойността му няма да се промени, независимо колко години минават или се случват природни бедствия. И така, имаме работа с постоянна променлива и следователно:
E (1) = 1 или E (g) = g
Те могат да опитат други номера.
Собственост 2
За всяка константа h и k, очакваната стойност на линията h · X + k ще бъде равна на константата h, умножена по очакването на случайната променлива X плюс константата k. Математически:
E (h X + k) = h E (X) + k
Погледнете внимателно, не ви ли напомня за много известен стрейт? Точно, регресионната линия.
Ако заменим:
E (hX + k) = Y
E (X) = X
k = B0
h = B1
Имате:
Y = B0 + Б1х
Когато се изчисляват коефициентите B0 , Б1 , т.е. B0 , B1 , те остават същите за цялата извадка. И така, ние прилагаме свойство 1:
E (B0) = Б0
E (B1) = Б1
Тук също намираме свойството на безпристрастност, т.е. очакваната стойност на оценката е равна на стойността на популацията.
Връщайки се към E (h · X + k) = h · E (X) + k, важно е да се има предвид, че Y е E (h · X + k), когато се правят заключения от регресионните линии. С други думи, би било да се каже, че когато X се увеличава с единица, Y се увеличава с половината h единици, тъй като Y е очакваната стойност на линията h · X + k.
Собственост 3
Ако H е вектор на константи и X е вектор на случайни променливи, тогава очакваната стойност може да бъде изразена като сбор от очакваните стойности.
H = (h1 , h2, , …, hн)
X = (X1 , Х2, ,…, Хн)
Хей1х1 + h2х2 + … + Hнхн) = h1·БИВШ1) + h2·БИВШ2) + … + Нн·БИВШн)
Изразява се със суми:
Това свойство е много полезно за деривации в областта на математическата статистика.