Свойства на очакваните стойности

Очакваната стойност на случайна променлива е концепцията, аналогична на математическата алгебра, която разглежда средната аритметична стойност на набора от наблюдения на споменатата променлива.

С други думи, очакваната стойност на случайна променлива е стойността, която се появява най-често при повтаряне на експеримент многократно.

Свойства на очакваните стойности на случайна променлива

Очакваната стойност на случайна променлива има три свойства, които разработваме по-долу:

Собственост 1

За всяка константа g очакваната стойност на тази константа ще бъде изразена като E (g) и ще бъде същата константа g. Математически:

E (g) = g

Тъй като g е константа, тоест не зависи от никоя променлива, нейната стойност ще остане същата.

Пример

Каква е очакваната стойност на 1? С други думи, каква стойност приписваме на числото 1?

E (1) =?

Точно, присвояваме стойността 1 на число 1 и стойността му няма да се промени, независимо колко години минават или се случват природни бедствия. И така, имаме работа с постоянна променлива и следователно:

E (1) = 1 или E (g) = g

Те могат да опитат други номера.

Собственост 2

За всяка константа h и k, очакваната стойност на линията h · X + k ще бъде равна на константата h, умножена по очакването на случайната променлива X плюс константата k. Математически:

E (h X + k) = h E (X) + k

Погледнете внимателно, не ви ли напомня за много известен стрейт? Точно, регресионната линия.

Ако заменим:

E (hX + k) = Y

E (X) = X

k = B₀

h = B₁

Имате:

Y = B₀ + Б₁х

Когато се изчисляват коефициентите B₀ , Б₁ , т.е. B₀ , B₁ , те остават същите за цялата извадка. И така, ние прилагаме свойство 1:

E (B₀) = Б₀

E (B₁) = Б₁

Тук също намираме свойството на безпристрастност, т.е. очакваната стойност на оценката е равна на стойността на популацията.

Връщайки се към E (h · X + k) = h · E (X) + k, важно е да се има предвид, че Y е E (h · X + k), когато се правят заключения от регресионните линии. С други думи, би било да се каже, че когато X се увеличава с единица, Y се увеличава с половината h единици, тъй като Y е очакваната стойност на линията h · X + k.

Собственост 3

Ако H е вектор на константи и X е вектор на случайни променливи, тогава очакваната стойност може да бъде изразена като сбор от очакваните стойности.

H = (h₁ , h_2, , …, h_н)

X = (X₁ , Х_2, ,…, Х_н)

Хей₁х₁ + h₂х₂ + … + H_нх_н) = h₁·БИВШ₁) + h₂·БИВШ₂) + … + Н_н·БИВШ_н)

Изразява се със суми:

Това свойство е много полезно за деривации в областта на математическата статистика.