Разпределението на Бернули е теоретичен модел, използван за представяне на дискретна случайна променлива, която може да завърши само с два взаимно изключващи се резултата.
Препоръчителни статии: примерно пространство, разпределение на Бернули и закон на Лаплас.
Пример за Бернули
Предполагаме, че сме много фенове на ездач в колоездачно състезание, в което се състезават само двама състезатели. Искаме да се обзаложим, че брокерът печели.
Така че, ако спечелите, това ще бъде резултат "успех", а ако загубите, ще бъде резултат "без успех". Схематично:
Ние разгледахме този пример като дихотомичен случай. Тоест има само два възможни резултата (за опростяване на ситуацията). В теоретичните книги намираме типичния пример за хвърлянето на неизолирана монета, която се състои от получаване на глави или опашки. Тъй като няма повече възможни резултати, получаването на параметър p става елементарно.
В нашия пример за брокер също бихме могли да сметнем „неуспешен“ като получаване на каквато и да е позиция, различна от първо място. Тогава параметърът p ще се промени и това ще бъде броят пъти, в които брокерът може първо да бъде разделен на броя на общите позиции. Схематично:
Тук параметърът в началото не изглежда много очевиден, но става въпрос само за прилагане на закона на Лаплас.
Предполагаме, че има само 10 позиции, в които състезателят може да получи само една от тях в състезанието. Тогава,
Упражнение
Изчислете функцията за разпределение на бегачите в състезание с 10 бегачи.
Функция за разпределение на Бернули
- Приближаване.
Дефинираме двете стойности, които може да приеме случайна променлива, която следва разпределение на Бернули.
Z = 1, ако състезателят спечели състезанието = 1-во място = УСПЕХ.
Z = 0, ако бегачът загуби състезанието = не е 1-во място = НЕ УСПЕШНО.
- Присвояване и изчисляване на вероятностите.
След като дефинираме стойностите на Z, присвояваме вероятностите за резултата от експеримента:
По-горе в примера вече сме изчислили вероятностите, използвайки закона на Лаплас. Резултатът беше, че p = 1/10 и (1-p) = 0.9.
- Изчисляване на функцията за разпределение.
Сега просто трябва да заместим предишните променливи във формулата на функцията за разпределение.
Виждаме, че предишните изрази също могат да бъдат изразени по този начин:
Виждаме, че използвайки един или друг начин, вероятността за успех, тоест вероятността бегачът да спечели състезанието, винаги ще бъде p = 1/10 и вероятността за неуспех, тоест вероятността той да загуби. състезанието също винаги ще бъде (1-p) = 9/10.
И така, бегачът следва разпределение на Бернули с вероятност p = 0,1:
