Ортоцентърът е пресечната точка на трите височини на триъгълник, които могат да бъдат намерени във или извън фигурата.
Трябва да се помни, че височината на триъгълника е този сегмент, който започва от всеки връх на триъгълника и се простира към противоположната му страна, образувайки прав ъгъл или 90º. Тоест височината и съответната й страна са перпендикулярни.
На фигурата по-горе, например, точка O е ортоцентърът на фигурата, като височините на триъгълника са CF, BE и AD.
Ортоцентър според вида на триъгълника
Ортоцентърът, в зависимост от вида на въпросния триъгълник, има различни характеристики:
- Правоъгълен триъгълник: Ортоцентърът на правоъгълен триъгълник съвпада с върха, който съответства на правия ъгъл. На фигурата по-долу например височините са BF и самите сегменти на триъгълника AB и BC, като ортоцентърът е върхът B.
Също така си струва да се спомене, че височините AB и BC са краката, тоест страните, които образуват правилния ъгъл, докато AC е хипотенузата.
- Тъп триъгълник: Ортоцентърът е извън триъгълника, когато е тъп, т.е. когато един от вътрешните ъгли на фигурата е по-голям от 90º.
На изображението по-долу например височините са AH, CI и FB, така че търсим точката на пресичане на техните разширения, която би била точка O.
- Остър триъгълник: Ортоцентърът се намира във вътрешността на фигурата, когато триъгълникът е остър, т.е. когато всички негови вътрешни ъгли са остри или по-малки от 90º (вижте първото изображение на тази статия).
Ортически триъгълник
Ортичният триъгълник е този, чиито върхове са краката на трите височини на триъгълника. Както виждаме на фигурата по-долу, ортичният триъгълник на триъгълник ABC е триъгълник FGH.
Вярно е също така, че ортоцентърът (точка I) на триъгълник ABC е и центърът на вписания кръг (съдържащ се в) ортичния триъгълник.
Как да намерим ортоцентъра на триъгълник
Да предположим, че имаме уравнението на линиите, които съдържат две от височините на триъгълник, които са следните:
y = -137,7x-1941
y = 0,6x + 7
И така, трябва да намерим при какви стойности на x и y и двете линии съвпадат. Първо решаваме за х, като приравняваме дясната страна на всяко уравнение:
-137,7x-1941 = 0,6x + 7
-138,3x = 1948
x = -14,0853
След това решаваме за и във всяко от двете уравнения:
y = (0,6x-14,0853) +7
y = -8,4512 + 7 = -1,4512
Следователно координатите на ортоцентъра в декартовата равнина са (-14.0853, 1.4512)