Линейно преобразуване на матрици

Линейното преобразуване на матриците са линейни операции чрез матрици, които модифицират началната размерност на даден вектор.

С други думи, можем да модифицираме измерението на вектор, като го умножим по всяка матрица.

Линейните трансформации са в основата на векторите и собствените стойности на матрицата, тъй като те зависят линейно един от друг.

Препоръчителни статии: операции с матрици, вектори и собствени стойности.

Математически

Определяме матрица° С която и да е с размер 3 × 2, умножена по вектор V на размерностn = 2 така че V = (v₁, с₂).

От какво измерение ще бъде векторът на резултата?

Векторът, произтичащ от произведението на матрицата° С_3×2с векторV_2×1ще бъде нов V 'вектор с измерение 3.

Тази промяна в размерите на вектора се дължи на линейното преобразуване през матрицата ° С.

Практически пример

Като се има предвид квадратната матрицаR с размер 2 × 2 и вектораV на измерение 2.

Линейна трансформация на измерението на вектораV то е:

където началното измерение на вектора V е 2 × 1 и сега крайното измерение на вектора Ще видиш3 × 1. Тази промяна в измерението се постига чрез умножаване на матрицата R.

Могат ли тези линейни трансформации да бъдат представени графично? Добре, разбира се!

Ще представим вектора на резултата V 'в равнина.

Тогава:

V = (2,1)

V ’= (6,4)

Графично

Собствени вектори, използващи графично представяне

Как можем да определим, че векторът е собствен вектор на дадена матрица, само като погледнем графиката?

Определяме матрицатад с размер 2 × 2:

Дали векторите v₁= (1,0) и v₂= (2,4) собствени вектори на матрицата д?

Процес

1. Нека започнем с първия вектор v₁. Правим предишната линейна трансформация:

Така че ако векторът v₁ е собствен вектор на матрицата д, полученият вектор v₁„И вектор v₁те трябва да принадлежат към една и съща линия.

Ние представляваме v₁ = (1,0) и v₁’ = (3,0).

Тъй като и v₁като V₁’Принадлежат към същия ред, v₁ е собствен вектор на матрицата д.

Математически има константаз(собствена стойност), така че:

2. Продължаваме с втория вектор v₂. Повтаряме предишната линейна трансформация:

Така че ако векторът v₂ е собствен вектор на матрицата д, полученият вектор v₂„И векторът v₂ те трябва да принадлежат към една и съща линия (като графиката по-горе)

Ние представляваме v₂ = (2,4) и v₂’ = (2,24).

Тъй като v₂ и V₂’Не принадлежат към един и същ ред, ст₂ не е собствен вектор на матрицата д.

Математически няма константаз(собствена стойност), така че: