Линейно преобразуване на матрици
Линейното преобразуване на матриците са линейни операции чрез матрици, които модифицират началната размерност на даден вектор.
С други думи, можем да модифицираме измерението на вектор, като го умножим по всяка матрица.
Линейните трансформации са в основата на векторите и собствените стойности на матрицата, тъй като те зависят линейно един от друг.
Препоръчителни статии: операции с матрици, вектори и собствени стойности.
Математически
Определяме матрица° С която и да е с размер 3 × 2, умножена по вектор V на размерностn = 2 така че V = (v1, с2).
От какво измерение ще бъде векторът на резултата?
Векторът, произтичащ от произведението на матрицата° С3×2с векторV2×1ще бъде нов V 'вектор с измерение 3.
Тази промяна в размерите на вектора се дължи на линейното преобразуване през матрицата ° С.
Практически пример
Като се има предвид квадратната матрицаR с размер 2 × 2 и вектораV на измерение 2.
Линейна трансформация на измерението на вектораV то е:
където началното измерение на вектора V е 2 × 1 и сега крайното измерение на вектора Ще видиш3 × 1. Тази промяна в измерението се постига чрез умножаване на матрицата R.
Могат ли тези линейни трансформации да бъдат представени графично? Добре, разбира се!
Ще представим вектора на резултата V 'в равнина.
Тогава:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Графично
Собствени вектори, използващи графично представяне
Как можем да определим, че векторът е собствен вектор на дадена матрица, само като погледнем графиката?
Определяме матрицатад с размер 2 × 2:
Дали векторите v1= (1,0) и v2= (2,4) собствени вектори на матрицата д?
Процес
1. Нека започнем с първия вектор v1. Правим предишната линейна трансформация:
Така че ако векторът v1 е собствен вектор на матрицата д, полученият вектор v1„И вектор v1те трябва да принадлежат към една и съща линия.
Ние представляваме v1 = (1,0) и v1’ = (3,0).
Тъй като и v1като V1’Принадлежат към същия ред, v1 е собствен вектор на матрицата д.
Математически има константаз(собствена стойност), така че:
2. Продължаваме с втория вектор v2. Повтаряме предишната линейна трансформация:
Така че ако векторът v2 е собствен вектор на матрицата д, полученият вектор v2„И векторът v2 те трябва да принадлежат към една и съща линия (като графиката по-горе)
Ние представляваме v2 = (2,4) и v2’ = (2,24).
Тъй като v2 и V2’Не принадлежат към един и същ ред, ст2 не е собствен вектор на матрицата д.
Математически няма константаз(собствена стойност), така че:
