Матрична квадратична форма - какво е това, определение и понятие
Квадратната форма на матрицата е продукт на умножението на вектор от порядък n с която и да е квадратна матрица от транспонирания вектор на порядъка n.
С други думи, квадратната форма на матрицата е линейна комбинация от квадратна матрица, вектор от порядък n и транспонирането на този вектор.
Препоръчителна статия: операции с матрици.
Формула за квадратична форма на матрица
Дадена квадратна матрица Z. от порядък n и вектор h от n размери, можем да напишем израза, наречен квадратична форма на формата:
Резултатът от квадратната форма винаги ще бъде скаларен, т.е. единично число, а не матрица.
Приложения
Квадратичната форма на матрицата се използва за намиране на степента на положителност и отрицателност на дефинираните матрици. В зависимост от стойностите на вектора h, стойността на квадратната форма ще бъде нула (0), положителна или отрицателна.
След като получим квадратната форма, можем да кажем, че сме „дефинирали“ матрицата. И така, можем да говорим за определена матрица. Тази матрица може да бъде положително определена, положителна полу-определена, отрицателно определена и отрицателна полу-определена.
Практически пример
Намиране на квадратната форма на квадратната матрица Z. даден вектор h:
Процес
Първо транспонираме вектора h.
След това прилагаме формулата на квадратната форма.
Както казахме преди, резултатът от квадратната форма винаги ще бъде едно число. В този случай това е строго положително число.
Но … Как може да се получи, че резултатът е конкретно число, а не матрица, ако умножаваме матрици?
Намаляването на измерението на матрицата от умножение се случва, защото умножаваме матрици, които споделят еднакъв брой колони и редове.
Демонстрация:
От матричния продукт Z. и от транспонирания вектор h остава вектор с размер 3 × 1. По същия начин произведението на вектора на резултата и вектора h остава матрица с размер 1 × 1. Матрица с размер 1 × 1 е скаларна.
Така че, ако изчислим квадратната форма на матрица и получим матрица с размер, по-голям от 1 × 1 (получаваме друг резултат, различен от конкретно число), това ще означава, че сме направили грешка в някаква стъпка и че резултатът е грешен.
