Фрактална геометрия - какво е това, определение и концепция

Фракталната геометрия е онзи клон на геометрията, който изучава фракталите. Това са сложни обекти, със структура, която се повтаря, когато я наблюдаваме в различни мащаби.

С други думи, фракталите са съставени от части, които са подобни на цялото и са неправилни структури. Нека помислим за главата на броколи, която, когато я разделяме, се разделя на няколко по-малки броколи.

Фракталната геометрия се ражда от необходимостта от по-добро сближаване с реалността, тъй като геометрията на равнината и геометрията на космоса изучават фигури и тела, които много трудно срещаме в природата.

Помислете, че планините не са конуси и че дори пирамидите в Египет, ако ги разгледаме отблизо, ще имат определени неравности по повърхностите си. Тези несъвършенства се наричат ​​с качеството на грапавост и това е характеристика, която добавя фрактална геометрия към обекти, които вече нямат само периметър, площ и обем.

Произход на фракталната геометрия

Произходът на фракталната геометрия е пионер на математика Беноа Манделброт, както и най-голямото му литературно произведение: „Фрактална геометрия на природата“, публикувано през 1982 г.

Думата фрактал идва от латинската дума "fractus", което означава счупен или счупен и е измислена от Манделброт през 1975 година.

Струва си да се спомене, че макар Манделброт да формализира изучаването на фракталната икономика, той не е първият, който забелязва съществуването на фрактали в природата. Например, ако разгледаме работата на известния японски художник Кацушика Хокусай, ще видим, че тази концепция е приложена (и самият Манделброт го спомена в интервю). Например в картината „Голямата вълна“ наблюдаваме как вътре във вълната има други по-малки вълни.

Характеристики на фрактал

Основните характеристики на фрактала са следните:

• Самоподобство: Отнася се за това, което вече споменахме по-рано. Ако разгледаме част от фрактала в по-голям мащаб (по-отблизо), той ще изглежда по същия начин като целия обект. Тоест, частта е подобна на цялата, въпреки че това не винаги е точно вярно. Например, нека си представим ромб, съставен от много малки ромбове. Въпреки че размерът на тези ромбове варира малко, това би бил фрактал.
• Фракталната измерение не е равно на топологичното измерение: За да обясним топологичното измерение, нека си представим, че имаме равнина, разделена на решетки, като мрежа. Така че чертая линия, която минава през 2 решетки. Ако разделих всички мрежести мрежи на две, линията щеше да мине през 4 мрежи. Тоест, той се умножава по 2, което е равно на редукционния коефициент (2), повишен до 1 (2 = 2¹), което на стойност излишък е броят на размерите на линията. Сега, ако имаме многоъгълник, двуизмерна фигура, се случва нещо подобно. Например, ако имаме квадрат, който обхваща четири решетки и отново приложим коефициент на редукция от 2, квадратът ще обхваща 16 решетки. Тоест, броят на решетките (4) се умножава по 4, което се увеличава 2 до 2 (2 = 2²), като степента е броят на квадратите измерения. Всичко по-горе обаче не е вярно във фракталите.
• Те не се различават в нито един момент: Това означава, в математически план, че производната на представената функция не може да бъде изчислена. Във визуален смисъл това означава, че графиката не е непрекъсната, но има върхове, така че не е възможно да се направи деривацията.

Приложение на фракталната геометрия

Фракталната геометрия може да се прилага в различни области. Например, през 1940 г. Луис Фрай Ричардсън е забелязал, че различните граници между държава и държава се променят в зависимост от мащаба на измерване. Тоест, ако измерим географски контур, резултатът ще се различава в зависимост от дължината на използваната линийка. Това послужи като справка за Манделброт в неговата статия от 1967 г., публикувана в списание Science: "Колко дълго е бреговете на Великобритания?"

Може да се обясни, ако вземем предвид, че географските територии са фрактали и, тъй като ги виждаме в по-голям мащаб, виждаме повече нередности.

Друго приложение на фракталната геометрия е анализът на сеизмичните движения и движения на фондовия пазар.

Освен това трябва да признаем, че фракталите са послужили като вдъхновение за художници като гореспоменатата Хокуса, а имаме и случая с Джаксън Полок.