Линейна комбинация от вектори възниква, когато вектор може да бъде изразен като линейна функция на други вектори, които са линейно независими.
С други думи, линейната комбинация от вектори е, че вектор може да бъде изразен като линейна комбинация от други вектори, които са линейно независими един от друг.
Изисквания за линейна комбинация от вектори
Линейната комбинация от вектори трябва да отговаря на две изисквания:
- Че вектор може да бъде изразен като линейна комбинация от други вектори.
- Нека тези други вектори са линейно независими един от друг.
Линейна комбинация в смятане
В основната математика сме свикнали да виждаме често линейни комбинации, без да го осъзнаваме. Например, ред е комбинация от една променлива по отношение на другата, така че:
Но корените, логаритмите, експоненциалните функции … вече не са линейни комбинации, тъй като пропорциите не остават постоянни за цялата функция:
Така че, ако говорим за линейна комбинация от вектори, структурата на уравнението ще има следната форма:
Тъй като говорим за вектори и предишното уравнение се отнася до променливи, за да изградим комбинацията от вектори, трябва само да заменим променливите с вектори. Нека следните вектори са:
И така, можем да ги запишем като линейна комбинация, както следва:
Векторите са линейно независими един от друг.
Гръцко писмо ламбда действа като параметър м в общото уравнение на линията. Ламбда ще бъде всяко реално число и ако не се появи, се казва, че стойността му е равна на 1.
Това, че векторите са линейно независими, означава, че нито един от векторите не може да бъде изразен като линейна комбинация от останалите. Известно е, че независимите вектори формират основа на пространството и зависимият вектор също принадлежи към това пространство.
Пример за паралелепипед
Предполагаме, че имаме три вектора и искаме да ги изразим като линейна комбинация. Също така знаем, че всеки вектор идва от един и същ връх и представлява абсцисата на този връх. Геометричната фигура е паралелепипед. Тъй като те ни информират, че геометричната фигура, която тези вектори образуват, е абсцисата на паралелепипед, тогава векторите ограничават лицата на фигурата.
Първо, трябва да знаем дали векторите са линейно зависими. Ако векторите са линейно зависими, тогава не можем да образуваме линейна комбинация от тях.
Три вектора:
Как можем да разберем дали векторите са линейно зависими, ако не ни дадат информация за техните координати?
Е, използвайки логика. Ако векторите бяха линейно зависими, тогава всички лица на паралелепипеда щяха да се срутят. С други думи, те биха били еднакви.
Следователно можем да изразим нов вектор w в резултат на линейната комбинация от предишните вектори:
Вектор, който представлява комбинацията от предишните вектори:
Графично:
