Терминът вдлъбнат се използва за описване на повърхност, която има вътрешна кривина, като централната й част е най-хлътнала или депресирана.
Затова казваме, че хълм или препятствие като това, което може да се види по пътищата за ограничаване на скоростта, е вдлъбнато.
По същия начин е възможно да се анализира дали има геометрични фигури, които също са вдлъбнати. Например, вдлъбната крива е тази с обърната U форма. Един от начините лесно да запомните как изглежда вдлъбнатата функция е тъжно лице.
Въпреки че използването на вдлъбнатината, която използвахме, е свързано с крива, истината е, че тя е приложима и за математически функции и полигони, както ще видим по-късно.
Как да разбера дали дадена функция е вдлъбната?
Ако втората производна на функция е по-малка от нула в дадена точка, тогава функцията е вдлъбната в тази точка.
Горното може да бъде изразено по следния начин:
f »(x) <0
Например имаме функцията f (x) = -x2 + 2x + 5. Първото му производно е f '(x) = -2x +2, а второто му производно би било f »(x) = -2. Следователно функцията f (x) = x2 + x + 3 е вдлъбната за всяка стойност на x, както виждаме на графиката по-долу, която е парабола:
Сега нека си представим тази друга функция f (x) = x3-5x2 +7. Първата му производна f '(x) = 3x2 -10x и второто му производно f »(x) = 6x -10. След като изчислим втората производна, трябва да проверим за какви стойности на x функцията е изпъкнала.
Така че поставяме втората производна равна на 0:
f »(x) = 6x-10 = 0
6x = 10
x = 1,67
Следователно функцията е вдлъбната, когато x е по-малко от 1,67, тъй като второто производно на уравнението е отрицателно. Можем да проверим това, като заменим различни стойности на x. По същия начин функцията е изпъкнала, когато x е по-голямо от 1,67, както виждаме на изображението по-долу:
Вдлъбнат многоъгълник
Вдлъбнат многоъгълник е този, при който, за да се съединят две от неговите точки, трябва да се направи права линия, която е извън фигурата (външен диагонал). Също така, поне един от вътрешните ъгли е по-голям от 180º. Такъв е случаят например с вдлъбнат четириъгълник като този, който виждаме по-долу:
Обратното на вдлъбнат многоъгълник е изпъкнал. Това е този, при който всички вътрешни ъгли са по-малки от 180º и, за да се съединят всякакви две точки на фигурата, може да се направи права линия, която остава в полигона.