Cramér-Rao Cota - какво е това, определение и концепция

Границата на Cramér-Rao (CCR) е минималната дисперсия, която при определени условия на редовност може да достигне оценител на един параметър.

С други думи, ние търсим дисперсията, която е най-близка до тази долна граница, за да намерим най-добрия оценител според свойствата на безпристрастността и ефективността.

Препоръчително е да прочетете свойствата на оценителите

Тези свойства се използват, когато трябва да изберем оценител, за да извършим иконометричен анализ. Ако искаме резултатите ни да бъдат категорични, минимум, ще трябва да изискваме оценителят да бъде безпристрастен и да има възможно най-малката дисперсия от всички безпристрастни оценки (ефективност).

Въпреки че взимаме предвид всички непредубедени оценители, когато търсим оценителя на минималната дисперсия, може да се случи, че има друг обективен оценител, който има по-малко отклонения.

За да не ни избегне непредубеден оценител с минимална дисперсия, ние установяваме минимална или долна граница, която вариацията на непредубедената оценка на параметър не може да надвишава.

Ние разглеждаме само непредубедените оценители, защото пристрастните оценители могат да имат отклонения, по-малки от CCR.

Формулиране

Ние определяме:

f (X; Θ): функция на плътността на вероятностите.

E (·): математическа надежда.

I (Θ): Информация за Фишър на параметър.

Представлява "количеството информация" за стойността на параметъра, съдържащ се в наблюдение на случайната променлива X.

Формула:

Не се паникьосвай! Какво можем да видим на пръв поглед от тази формула?

• Виждаме, че това е нестрого неравенство (≥) вместо равенство (=). Това е така, защото в някои случаи не намираме (не съществува) непредубеден оценител, който достига границата на CCR. Следователно казваме, че търсим дисперсията на обективния оценител, който е възможно най-близо до тази долна граница. Освен това CCR ни казва каква ще бъде минималната дисперсия на оценителя, под тази цифра тя не може да бъде намерена.
• Частта вдясно (var (Θ ’)) е дисперсията на оценката на нашия параметър.
• Частта вляво (1 / J (Θ)) е непреодолимият минимум на дисперсията.
• Ако търсим (абсолютен) минимум за дисперсията на оценката на Θ, логично е да се появят частични производни (производни по отношение на Θ).
  • В икономиката частичните производни се използват в условия от първи и втори ред, за да се оптимизират полезните функции: да се намерят относителните и абсолютните максимуми и минимуми съответно.
  • CCR използва първата частична производна на параметъра Θ върху функцията на плътността на вероятностите f (X; Θ)
  • За по-лесно изчисляване, в някои случаи втората производна и алтернативна информация на Fisher се използват за получаване на CCR.

Оценките, които, като безпристрастни, имат дисперсия, равна на CCR, тогава ще се считат за най-ефективни. По същия начин тези безпристрастни, чиято дисперсия е по-близка, ще се считат за относително по-ефективни от другите оценители (по-далеч).