Полином на Тейлър - какво е това, определение и понятие

Полиномът на Тейлър е полиномно приближение на функциян пъти, извличащи се в определена точка.

С други думи, полиномът на Тейлър е крайна сума от локални производни, оценени в определена точка.

Математически

Ние определяме:

f (x): функция на х.

f (x₀): функция нахв определена точка x₀. Формално е написано:

F^(н)(х):н-то производно на функцията f (x).

Приложения

Разширяването на Тейлър обикновено се прилага за финансови активи и продукти, чиято цена се изразява като нелинейна функция. Например цената на краткосрочната дългова ценна книга е нелинейна функция, която зависи от лихвените проценти. Друг пример биха били опциите, при които както рисковите фактори, така и рентабилността са нелинейни функции. Изчисляването на продължителността на връзката е полином на Тейлър от първа степен.

Пример за полином на Тейлър

Искаме да намерим втория ред на приближението на Тейлър на функцията f (x) в точка x₀=1.

1. Правим съответните производни на функцията f (x).

В този случай те ни питат до втория ред, така че ще направим първата и втората производни на функцията f (x):

• Първа производна:

• Второ производно:

2. Заместваме x₀= 1 във f (x), f '(x) и f' '(x):

3. След като имаме стойността на производните в точката x₀= 1, ние го заместваме в приближението на Тейлър:

Поправяме полинома малко:

Проверка на стойности

Приближаването на Тейлър ще бъде достатъчно, колкото по-близо до х₀ да са стойностите. За да проверим това, заместваме стойности, близки до x₀ както в оригиналната функция, така и в приближението на Тейлър по-горе:

Когато х₀=1

Оригинална функция:

Приближение на Тейлър:

Когато х₀=1,05

Оригинална функция:

Приближение на Тейлър:

Когато x₀=1,10

Оригинална функция:

Приближение на Тейлър:

В първия случай, когато x₀= 1, виждаме, че както оригиналната функция, така и приближението на Тейлър ни дават един и същ резултат. Това се дължи на състава на полинома на Тейлър, който сме създали с помощта на местните производни. Тези производни са оценени в определена точка, x₀= 1, за да се получи стойност и да се създаде полином. Така че колкото по-далеч от тази конкретна точка, x₀= 1, толкова по-малко подходящо ще бъде приближението за оригиналната нелинейна функция. В случаите, когато x₀= 1,05 и х₀= 1.10 има значителна разлика между резултата от първоначалната функция и приближението на Тейлър.

Но … разликата е много малка, нали?

Представяне на полином на Тейлър

Ако разширим крайностите (където приближението се отдалечава от x₀=1):

На пръв поглед може да изглежда незначително, но когато работим върху графиката и правим приближения, е много важно да вземем предвид поне първите четири знака след десетичната запетая. Основата на приближенията е прецизността.