Полиномът на Тейлър е полиномно приближение на функциян пъти, извличащи се в определена точка.
С други думи, полиномът на Тейлър е крайна сума от локални производни, оценени в определена точка.
Математически
Ние определяме:
f (x): функция на х.
f (x0): функция нахв определена точка x0. Формално е написано:
F(н)(х):н-то производно на функцията f (x).
Приложения
Разширяването на Тейлър обикновено се прилага за финансови активи и продукти, чиято цена се изразява като нелинейна функция. Например цената на краткосрочната дългова ценна книга е нелинейна функция, която зависи от лихвените проценти. Друг пример биха били опциите, при които както рисковите фактори, така и рентабилността са нелинейни функции. Изчисляването на продължителността на връзката е полином на Тейлър от първа степен.
Пример за полином на Тейлър
Искаме да намерим втория ред на приближението на Тейлър на функцията f (x) в точка x0=1.
1. Правим съответните производни на функцията f (x).
В този случай те ни питат до втория ред, така че ще направим първата и втората производни на функцията f (x):
- Първа производна:
- Второ производно:
2. Заместваме x0= 1 във f (x), f '(x) и f' '(x):
3. След като имаме стойността на производните в точката x0= 1, ние го заместваме в приближението на Тейлър:
Поправяме полинома малко:
Проверка на стойности
Приближаването на Тейлър ще бъде достатъчно, колкото по-близо до х0 да са стойностите. За да проверим това, заместваме стойности, близки до x0 както в оригиналната функция, така и в приближението на Тейлър по-горе:
Когато х0=1
Оригинална функция:
Приближение на Тейлър:
Когато х0=1,05
Оригинална функция:
Приближение на Тейлър:
Когато x0=1,10
Оригинална функция:
Приближение на Тейлър:
В първия случай, когато x0= 1, виждаме, че както оригиналната функция, така и приближението на Тейлър ни дават един и същ резултат. Това се дължи на състава на полинома на Тейлър, който сме създали с помощта на местните производни. Тези производни са оценени в определена точка, x0= 1, за да се получи стойност и да се създаде полином. Така че колкото по-далеч от тази конкретна точка, x0= 1, толкова по-малко подходящо ще бъде приближението за оригиналната нелинейна функция. В случаите, когато x0= 1,05 и х0= 1.10 има значителна разлика между резултата от първоначалната функция и приближението на Тейлър.
Но … разликата е много малка, нали?
Представяне на полином на Тейлър
Ако разширим крайностите (където приближението се отдалечава от x0=1):
На пръв поглед може да изглежда незначително, но когато работим върху графиката и правим приближения, е много важно да вземем предвид поне първите четири знака след десетичната запетая. Основата на приближенията е прецизността.
