Алгебрата на множества е област на изследване, в рамките на математиката и логиката, фокусирана върху операциите, които могат да се извършват между множествата.
Алгебрата на множества е част от онова, което познаваме като теория на множествата.
Трябва да се помни, че даден набор е групирането на елементи от различен вид, като букви, цифри, символи, функции, геометрични фигури и др.
Задайте операции
Основните операции с набори са следните:
- Съюз: Обединението на два или повече набора съдържа всички елементи, които принадлежат на поне един от тези набори. Обозначава се с буквата U.
A = (9,34,57,6,9)
Б = (10,41,57,9,16)
AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)
- Пресичане: Пресичането на два или повече набора включва елементите, които тези набори споделят. Обозначава се с обърната U (∩). Пример:
A = (a, r, t, i, c, o)
B = (i, n, d, i, c, o)
A∩B = (i, c, o)
- Разлика: Разликата на един набор по отношение на друг е равна на елементите на първия набор минус елементите на втория. Обозначава се със символа или -. Погледнато по друг начин, x ∈ a A B, ако x ∈ A, но x ∉ B. Пример:
A = (21,34,56,17,7)
Б = (78,21,17,36,80)
A-B = (34,56,7)
- Допълнение: Допълнението на набор включва всички елементи, които не се съдържат в този набор (но които принадлежат на друг универсален референтен набор). Това е обозначено с горния индекс C. Пример:
A = (3,9,12,15,18)
U (Вселена) = Всички кратни на 3, които са цели естествени числа, по-малки от 30.
ДА СЕ° С=(6,21,24,27)
- Симетрична разлика: Симетричната разлика на два набора включва всички елементи, които са в единия или другия, но не и двете едновременно. Тоест, това е обединението на множествата минус тяхното пресичане. Неговият символ е Δ. Пример:
A = (17.81.99.131.65.32)
Б = (11.54.71.65.99.27)
AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)
- Декартов продукт: Това е операция, която води до нов набор, който съдържа като елементи подредените двойки или кортежите (подредените серии) на елементите, които принадлежат на два или повече набора. Те са подредени двойки, ако това са два множества и кортежи, ако имаме повече от два комплекта. Пример:
A = (8,15,6,51)
B = (x, y)
AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )
BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )
Закони на множествена алгебра
Законите на множествената алгебра са както следва:
- Идемпотентност: Обединението или пресичането на множество със себе си води до същия набор:
XUX = X
X∩X = X
- Комутативно: Редът на факторите не променя резултата при намиране на обединението или пресичането на множества:
XUY = XUY
X∩Y = X∩Y
- Разпределително: Обединението на множество X с пресичането на два други множества Y и Z е равно на пресичането на обединението на X и Y с обединението на X и Z. Това е:
XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)
Освен това, същото важи и ако обърнем реда на операциите:
X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)
- Асоциативно: Условията за операция на обединение или пресичане на няколко набора могат да бъдат групирани неясно, като винаги се получава един и същ резултат:
XU (XUY) = (XUY) UZ
X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z
- Законът на Морган: Допълнението на обединението на две множества е равно на пресичането на техните допълнения, а допълнението на пресичането на две множества е равно на обединението на техните допълнения.
(XUY)° С= X° С∩Y° С
(X∩Y)° С= X° СЪъъ° С
- Закон за разликите: Разликата на един набор по отношение на друг е равна на пресичането на първия с допълнението на втория:
(X-Y) = X∩Y° С
- Закони за допълване:
- Обединението на множество с неговото допълнение не е равно на универсалното множество. XUX° С= U
- Пресичането на множество с неговото допълнение е равно на нула или празен набор. X∩X° С=∅
- Допълнението на допълнението на множество X е равно на множество X. (X° С)° С= X
- Допълнението на универсалния набор е равно на нула или празен набор. х° С=∅
- Допълнението на празния набор е равно на универсалния набор. ∅° С= U
- Закони на усвояване:
- XU (X∩Y) = X
- X∩ (XUY) = X
- XU (X° С∩Y) = XUY
- X∩ (X° СUY) = X∩Y