Експоненциалната функция е в основата на непрекъснатото смесване, което е резултат от увеличаването на безкрайно (когато p има тенденция към безкрайност) честотата на изчисляване на интереса в сложно смесване.
С други думи, експоненциалната функция е сложно смесване, при което периодите от време между изчисленията на лихвите са безкрайно малки (много малки).
Формулата за експоненциалната функция е:
Непрекъснатото смесване може да бъде изразено като
Разумни прилики между непрекъснатото изписване с главни букви и експоненциалната функция, нали?
Определяме променливите на продължителна капитализация:
- ° Сt + 1: капитал в момент t + 1 (по-късно).
- ° СT: капитал в момент t (текущ).
- iT: лихвен процент в момент t.
- p: честота на съставяне или периодичност.
- t: време.
Приложения
Във финансите често намираме експоненциалната функция във формулата за непрекъсната капитализация на бъдещи доходи и в някои иконометрични регресии.
В икономиката той не е толкова популярен, защото повечето микроикономически и макроикономически модели предполагат намаляваща пределна възвръщаемост на техните производствени фактори. Следователно те приемат, че факторите следват логаритмични възвръщаемости и следователно се връща в противоречие с експоненциалната функция.
Пример за експоненциална функция
Предполагаме, че сме американски инвеститор, който иска да построи ски писта в Пико Боливар, Венецуела. Първоначалната инвестиция е 100 милиона долара при годишен лихвен процент от 100%. Този инвеститор има достатъчно сила за договаряне, за да определи периодичността на изчисляването на лихвата върху неговата инвестиция.
Каква алтернатива ще предпочете американският инвеститор?
За да отговорим на въпроса, ще трябва да изчислим капитала навреме t + 1 (° Сt + 1), които инвеститорът ще получи.
Налична информация:
° СT: $ 100MM
iT: 100%
t: 1 (годишно)
° Сt + 1: ?
| Алтернатива | ДА СЕ | Б. | ° С | д | И | F |
| Периодичност | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Заместваме информацията, която имаме в двете формули (функция exp. И непрекъснато изписване с главни букви)
Ние обработваме данните, като избягваме MM.
Разделяме (Ct + 1) на 100 в експоненциалната функция за елиминиране на ефекта от капитала. По този начин преместваме запетая с две места напред. Следователно този ефект се вижда в следващите колони с резултати.
Резултати:
| Формула | Непрекъснато смесване | Експоненциална функция |
| Периодичност (p) или (n) | ° Сt + 1 | ° Сt + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Когато n или p са склонни към безкрайност, в този случай от 10 000 000, можем да видим, че стойностите се сближават на определено число. За непрекъснато смесване е 271,8281, а за експоненциална функция е 2,718281. Двете серии се сближават и.
Отговорът на упражнението е разрешен
И така, каква алтернатива ще избере американският инвеститор, ако от редица периодичности капиталът при t + 1 (Ct + 1) сергии на определена стойност?
- Ако този инвеститор третира капитала като дискретна променлива, тогава той ще избере алтернатива D. Тъй като от алтернатива C капиталът при t + 1 (Ct + 1) се сближава до $ 271MM.
- Ако този инвеститор третира капитала като непрекъсната променлива, тогава той ще избере алтернативата с повече периодичност. В този случай алтернатива Е. Дори ако в крайна сметка се сближи по стойност, инвеститорът взема предвид всички десетични знаци.
Това сближаване предполага, че капиталът при t + 1 (Ct + 1), изчислена с помощта на формулата за непрекъснато съставяне или експоненциалната функция, следва намаляваща пределна възвращаемост. С други думи, (Ct + 1) може да се изрази като логаритмична функция.
Схематично:
- Периодичност = експоненциална функция.
- Капитал към t + 1 (° Сt + 1) = логаритмична функция.
Графично представяне
На графиката можете да видите как експоненциалната функция, която е безкрайно непрекъсната, расте много по-бързо от ограничената непрекъсната капитализация. Когато говорим за непрекъсната капитализация, ние се позоваваме на един вид сложна капитализация, но с по-голяма периодичност, тъй като на практика е невъзможно да се капитализират безкрайно лихвите. Искам да кажа, че не можем да се възползваме от всяка секунда.