Равнобедреният трапец е този, при който двете му непаралелни страни, тези, които се присъединяват към двете основи на фигурата, имат еднаква дължина.
Трябва да се помни, че трапецът е четириъгълник (четиристранен многоъгълник), характеризиращ се с две страни, наречени бази. Те са успоредни (те не се пресичат, дори ако са удължени) и с различна дължина. Освен това другите му две страни не са успоредни.
Равнобедреният трапец е един от трите вида трапец, заедно с десния трапец и скален трапец.
Характеристики на равнобедрения трапец
Сред характеристиките на равнобедрения трапец се открояват следните:
- На фигурата по-долу, ако трапецът е равнобедрен, страните AB и CD са с еднаква дължина.
- Двата вътрешни ъгъла, разположени на една и съща основа, измерват еднакво. Ако се ръководим от изображението по-долу, ще бъде вярно следното: α = β и δ = γ.
- Диагоналите на фигурата, AC и DB, са с еднаква дължина.
- Вътрешните ъгли, които са противоположни, се допълват. Тоест те образуват прав ъгъл. На долното изображение ще се наблюдава следното: α + γ = α + δ = β + δ = β + γ = 180º.
- Два от вътрешните ъгли са остри (по-малко от 90º), докато другите два са тъпи (по-големи от 90º). По този начин, на фигурата по-долу, α и β са тъпи, докато δ и γ са остри.
- Четирите вътрешни ъгъла достигат до 360º.
- Равнобедреният трапец е единственият вид трапец, който може да бъде изписан на обиколка. Тоест, четирите му върха могат да преминат през периметъра на кръг (вижте чертежа по-долу).
- Той има ос на симетрия, която би била EF линия на изображението по-долу. Това е перпендикулярно на основите (образува прав или ъгъл 90º) и ги отрязва в средната им точка. По този начин, когато чертаете споменатата ос, многоъгълникът е разделен на две симетрични части. Тоест, всяка точка от едната страна съответства на точка от другата страна, като и двете са на еднакво разстояние от оста на симетрия. Например разстоянието между точка B и точка F е същото разстояние, което съществува между точка F и точка C.
Периметър и площ на равнобедрения трапец
За да разберем по-добре характеристиките на равнобедрен трапец, можем да изчислим следните измервания:
- Периметър: Добавяме дължината на всяка страна на фигурата: P = AB + BC + CD + AD.
- ■ площ: Както във всеки трапец, за да се намери неговата площ, основите се добавят, разделени на две и умножени по височината. Както е посочено във формулата, показана по-долу:
Сега, за да изчислим височината, можем да нарисуваме две височини от върховете A и D, както можем да видим на фигурата по-долу:
Тогава имаме триъгълника ADFG; където AD е равно на FG, а триъгълниците, образувани отстрани, са конгруентни. Следователно BF е същото като GC. Ще приемем, че и двете измерват да се.
Следователно би било вярно, че:
Сега отбелязваме, че триъгълниците, образувани странично, са правоъгълни триъгълници, така че може да се приложи питагоровата теорема. Например в триъгълник ABF AB е хипотенузата, докато AF (височината, която ще наречем h) и BF са краката.
Трябва също да имаме предвид, че AB е същото като DC. По този начин, ако заменим горното във формулата за площта, ще имаме площта като функция от страните на трапеца:
Друг начин за изчисляване на площта на трапец е чрез умножаване на диагоналите, разделяне по две и умножаване по синус на ъгъла, който образуват при пресичане, като се помни, че и двата диагонала са равни:
Струва си да се отбележи, че при пресичането на диагоналите, противоположните ъгли са равни и съседният им е допълнителният ъгъл.
Знаейки тогава, че синусът на ъгъла е равен на синуса на допълнителния ъгъл, може да бъде избран всеки от ъглите в пресечната точка на диагоналите.
Обобщавайки, на изображението по-долу е вярно, че: α = γ, β = δ и α + β = γ + δ = α + δ = β + γ = 180º
За да намерим диагонала, можем да използваме следната формула:
Следователно площта ще бъде:
Пример за равнобедрен трапец
Нека си представим, че имаме трапец с основи, които измерват 4 и 8 метра, докато непаралелните страни са с размер 3,6 метра, като и двете са равни (така че трапецът е равнобедрен), колко е дълъг периметърът (P), площта ( А) и диагонала (D) на фигурата?
