Нормалното разпределение е теоретичен модел, способен да апроксимира задоволително стойността на случайна променлива до идеална ситуация.
С други думи, нормалното разпределение отговаря на случайна променлива на функция, която зависи от средната стойност и стандартното отклонение. Тоест, функцията и случайната променлива ще имат същото представяне, но с малки разлики.
Непрекъснатата случайна променлива може да приема всяко реално число. Например възвръщаемостта на акциите, резултатите от теста, IQ и стандартните грешки са непрекъснати случайни променливи.
Дискретна случайна променлива приема естествени стойности. Например броят на студентите в университет.
Нормалното разпределение е основата за други разпределения, като разпределение на t на Student, разпределение хи-квадрат, F разпределение на Fisher и други разпределения.
Формула на нормалното разпределение
Като се има предвид случайна променлива X, ние казваме, че честотата на нейните наблюдения може да бъде задоволително приближена до нормално разпределение, така че:
Когато параметрите на разпределението са средната или централната стойност и стандартното отклонение:
С други думи, ние казваме, че честотата на случайна променлива X може да бъде представена чрез нормално разпределение.
Представителство
Функция на плътността на вероятността на случайна променлива, която следва нормално разпределение.
Имоти
- Това е симетрично разпределение. Стойността на средната стойност, средната стойност и режимът съвпадат. Математически,
Средно = медиана = режим
- Едномодално разпределение. Стойностите, които са по-чести или има по-голяма вероятност да се появят, са около средната стойност. С други думи, когато се отдалечим от средната стойност, вероятността от поява на стойностите и тяхната честота намалява.
Какво ни е необходимо, за да представим нормално разпределение?
- Случайна променлива.
- Изчислете средната стойност.
- Изчислете стандартното отклонение.
- Решете функцията, която искаме да представим: функция на плътността на вероятността или функция на разпределение.
Теоретичен пример
Предполагаме, че искаме да знаем дали резултатите от даден тест могат по подходящ начин да приближат нормалното разпределение.
Знаем, че 476 ученици участват в този тест и че резултатите могат да варират от 0 до 10. Изчисляваме средното и стандартното отклонение от наблюденията (резултатите от теста).
И така, ние определяме случайната променлива X като резултати от теста, които зависят от всеки отделен резултат. Математически,
Резултатът на всеки ученик се записва в таблица. По този начин ще получим глобална визия за резултатите и тяхната честота.
| Резултати | Честота |
| 0 | 20 |
| 1 | 31 |
| 2 | 44 |
| 3 | 56 |
| 4 | 64 |
| 5 | 66 |
| 6 | 62 |
| 7 | 51 |
| 8 | 39 |
| 9 | 26 |
| 10 | 16 |
| ОБЩА СУМА | 476 |
След като таблицата е направена, ние представяме резултатите от изследването и честотите. Ако графиката прилича на предишното изображение и отговаря на свойствата, тогава променливата на резултатите от теста може да бъде апроксимирана задоволително до нормално разпределение от средно 4,8 и стандартно отклонение 3,09.
Могат ли резултатите от теста да се доближат до нормално разпределение?
Причини да се счита, че променливата с резултатите от теста следва нормално разпределение:
- Симетрично разпределение. Тоест има еднакъв брой наблюдения както отдясно, така и отляво на централната стойност. Също така, че средната стойност, медианата и режимът имат еднаква стойност.
Средно = медиана = режим = 5
- Наблюденията с най-голяма честота или вероятност са около централната стойност. С други думи, наблюденията с по-малка честота или вероятност са далеч от централната стойност.
Нормалното разпределение описва случайната променлива чрез приближение, което създава стандартни грешки (лентите над всяка колона). Тези грешки са разликата между действителните наблюдения (резултати) и функцията на плътността (нормално разпределение).
