Разлагането на Cholesky е специален вид разлагане на LU матрица, от английския Lower-Upper, което се състои от факториране на матрица в произведението на две или повече матрици.
С други думи, разлагането на Cholesky се състои в приравняване на матрица, съдържаща същия брой редове и колони (квадратна матрица), на матрица с нули над основния диагонал, умножена по нейната матрица, транспонирана с нули под основния диагонал.
Разлагането на LU, за разлика от Cholesky, може да се приложи към различни видове квадратни матрици.
Характеристики на разлагане на Cholesky
Разграждането на Cholesky се състои от:
- Горна триъгълна квадратна матрица: Квадратна матрица, която има само нули под основния диагонал.
- Долна триъгълна квадратна матрица: Матрица, която има само нули над основния диагонал.
Математически, ако съществува положително определена симетрична матрица, И, тогава съществува долна триъгълна симетрична матрица, K, със същото измерение като И, в резултат на което:
Горната матрица се появява като матрицата на Cholesky на E. Тази матрица действа като квадратен корен от матрицата E. Знаем, че областта на квадратния корен е:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Което се дефинира във всички неотрицателни реални числа. По същия начин като квадратния корен, матрицата на Cholesky ще съществува само ако матрицата е полуположително определена. Матрицата е полу-положителна, когато основните непълнолетни имат положителна или нулева детерминанта.
Разграждането на Cholesky на И е диагонална матрица, такава че:
Виждаме, че матриците са квадратни и съдържат споменатите характеристики; триъгълник от нули над главния диагонал в първата матрица и триъгълник от нули под основния диагонал в преобразуваната матрица.
Приложения за разлагане на Cholesky
Във финансите се използва за трансформиране на реализациите на независими нормални променливи в нормални променливи, корелирани според корелационна матрица И.
Ако N е вектор на независими нормали (0,1), следва, че Ñ е вектор на нормали (0,1), корелиран според И.
Пример за разграждане на Холески
Това е най-простият пример, който можем да намерим за разлагането на Чолески, тъй като матриците трябва да са квадратни, в този случай матрицата е (2 × 2). Два реда по две колони. В допълнение, той отговаря на характеристиките на наличието на нули над и под основния диагонал. Тази матрица е полуположителна, тъй като големите непълнолетни имат положителна детерминанта. Ние определяме:
Решаване на: c2 = 4; b · c = -2; да се2+ b2 = 5; имаме четири възможни матрици на Cholesky:
Накрая изчисляваме, за да намерим (a, b, c). След като ги намерим, ще получим матриците на Чолески. Изчислението е както следва:
