Точката на огъване на математическа функция е тази точка, в която графиката, която я представя, променя вдлъбнатината си. Тоест преминава от вдлъбната към изпъкнала или обратно.
С други думи, точката на инфлексия е моментът, когато функцията променя тенденцията.
За да получите идея, нека започнем, като я разгледаме в графично представяне, приблизително:
Трябва да се отбележи, че дадена функция може да има повече от една точка на огъване или изобщо да не съществува. Например, линията няма точка на прегъване.
Нека да видим, в следващата графика, пример за функция с повече от една точка на огъване:
Също така, в математически термин, точката на огъване се изчислява чрез задаване на второто производно на функцията, равно на нула. По този начин решаваме корена (или корените) на това уравнение и ще го наречем Xi.
След това заместваме Xi в третата производна на функцията. Ако резултатът е различен от нула, ние сме изправени пред точка на огъване.
Ако обаче резултатът е нула, трябва да заменим в последователните производни, докато стойността на тази производна, била тя трета, четвърта или пета, се различава от 0. Ако производната е нечетна, това е точка на прегъване, но ако е дори не.
Пример за повратна точка
След това нека разгледаме един пример.
Да предположим, че имаме следната функция:
у = 2х4+ 5x3+ 9x + 14
y ’= 8x3+ 15x2+9
y »= 24x2+ 30x = 0
24x = -30
Xi = -1,25
След това заместваме Xi в третото производно:
y »’ = 48x
y »’ = 48x-1,25 = -60
Тъй като резултатът е различен от нула, ние се оказваме пред точка на прегъване, която би била, когато x е равно на -1,25 и y е равно на -2,1328, както е показано на следващата графика.
При това се забелязва, че функцията има точка на огъване:
Сега, нека разгледаме друг пример:
y = x4-54x2
у ’= 4х3-108x
y »= 12x2-108=0
х2=9
Xi = 3 и -3
След това заместваме двата корена, намерени в третото производно:
y »’ = 24x
y »’ = 24 × 3 = 72
y »’ = 24x-3 = -72
Тъй като резултатът е различен от нула, имаме две точки на огъване при (3,567) и (-3,567).
За да допълним информацията, ви каним да посетите статията за инфлексия, където обхващаме тази концепция по-общо:
Определение за флексия