Точка на огъване - какво е това, определение и понятие

Точката на огъване на математическа функция е тази точка, в която графиката, която я представя, променя вдлъбнатината си. Тоест преминава от вдлъбната към изпъкнала или обратно.

С други думи, точката на инфлексия е моментът, когато функцията променя тенденцията.

За да получите идея, нека започнем, като я разгледаме в графично представяне, приблизително:

Трябва да се отбележи, че дадена функция може да има повече от една точка на огъване или изобщо да не съществува. Например, линията няма точка на прегъване.

Нека да видим, в следващата графика, пример за функция с повече от една точка на огъване:

Също така, в математически термин, точката на огъване се изчислява чрез задаване на второто производно на функцията, равно на нула. По този начин решаваме корена (или корените) на това уравнение и ще го наречем Xi.

След това заместваме Xi в третата производна на функцията. Ако резултатът е различен от нула, ние сме изправени пред точка на огъване.

Ако обаче резултатът е нула, трябва да заменим в последователните производни, докато стойността на тази производна, била тя трета, четвърта или пета, се различава от 0. Ако производната е нечетна, това е точка на прегъване, но ако е дори не.

Пример за повратна точка

След това нека разгледаме един пример.

Да предположим, че имаме следната функция:

у = 2х⁴+ 5x³+ 9x + 14

y ’= 8x³+ 15x²+9

y »= 24x²+ 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

След това заместваме Xi в третото производно:

y »’ = 48x

y »’ = 48x-1,25 = -60

Тъй като резултатът е различен от нула, ние се оказваме пред точка на прегъване, която би била, когато x е равно на -1,25 и y е равно на -2,1328, както е показано на следващата графика.

При това се забелязва, че функцията има точка на огъване:

Сега, нека разгледаме друг пример:

y = x⁴-54x²

у ’= 4х³-108x

y »= 12x²-108=0

х²=9

Xi = 3 и -3

След това заместваме двата корена, намерени в третото производно:

y »’ = 24x

y »’ = 24 × 3 = 72

y »’ = 24x-3 = -72

Тъй като резултатът е различен от нула, имаме две точки на огъване при (3,567) и (-3,567).

За да допълним информацията, ви каним да посетите статията за инфлексия, където обхващаме тази концепция по-общо: