Свойства на оценителите

Свойствата на оценителите са качествата, които те могат да притежават и които служат за избор на тези, които са по-способни да дадат добри резултати.

За начало с дефиниране на понятието оценител, ще кажем, че дадена произволна извадка (x₁, х₂, х₃,…, Х_н) оценител представлява популация, която зависи от φ параметър, който не знаем.

Този параметър, който обозначаваме с гръцката буква fi (φ), може да бъде например средната стойност на произволна случайна променлива.

Математически, еднопараметричният Q-оценител зависи от случайните наблюдения в извадката (x₁, х₂, х₃,…, Х_н) и известна функция (h) на пробата. Оценителят (Q) ще бъде случайна променлива, защото зависи от извадката, която съдържа случайни променливи.

Q = h (x₁, х₂, х₃,…, Х_н)

Безпристрастност на оценителя

Q оценителят на φ е непредубеден оценител, ако E (Q) = φ за всички възможни стойности на φ. Определяме E (Q) като очакваната стойност или очакване на оценката Q.

В случай на пристрастни оценители, това отклонение ще бъде представено като:

Пристрастие (Q) = E (Q) - φ

Можем да видим, че пристрастието е разликата между очакваната стойност на оценката, E (Q), и истинската стойност на параметъра на популацията, φ.

Точка оценка

Ефективност на оценител

Да Q₁ и Q₂ са две непредубедени оценки на φ, връзката им с Q ще бъде ефективна₂ когато Var (Q₁) ≤ Var (Q₂) за всяка стойност на φ, докато статистическата извадка от φ е строго по-голяма от 1, n> 1. Където Var е дисперсията, а n е размерът на извадката.

Интуитивно заявено, ако приемем, че имаме две оценки с непредубеденото свойство, можем да кажем, че едно (Q₁) е по-ефективен от друг (Q₂) ако променливостта на резултатите от една (Q₁) е по-малък от този на другия (Q₂). Логично е да се мисли, че едно нещо, което варира повече от друго, е по-малко "точно".

Следователно можем да използваме този критерий само за избор на оценители, когато те са безпристрастни. В предишното изявление, когато дефинираме ефективността, вече приемаме, че оценителите трябва да бъдат безпристрастни.

За сравнение на оценки, които не са непременно непредубедени, т.е. може да съществува пристрастие, се препоръчва да се изчисли средната квадратична грешка (MSE) на оценителите.

Ако Q е оценител на φ, тогава ECM на Q се определя като:

Грешката на средния квадрат (MSE) изчислява средното разстояние, което съществува между очакваната стойност на оценката на пробата Q и оценката на популацията. Квадратичната форма на ECM се дължи на факта, че грешките могат да бъдат по подразбиране, отрицателни или свръхположителни по отношение на очакваната стойност. По този начин ECM винаги ще изчислява положителни стойности.

ECM зависи от отклонението и пристрастието (ако има такова), което ни позволява да сравним две оценки, когато едната или и двете са пристрастни. Този, чийто NDE е по-голям, ще се разбира като по-малко точен (има повече грешки) и следователно по-малко ефективен.

Последователност на оценител

Консистенцията е асимптотично свойство. Това свойство прилича на свойството на ефективността с тази разлика, че последователността измерва вероятното разстояние между стойността на оценката и истинската стойност на параметъра на популацията, тъй като размерът на извадката се увеличава неограничено. Това неопределено увеличение на размера на извадката е в основата на асимптотичното свойство.

Има минимален размер на извадката за извършване на асимптотичния анализ (проверете консистенцията на оценката, докато пробата се увеличава). Приближенията на големи извадки работят добре за проби от около 20 наблюдения (n = 20). С други думи, искаме да видим как се държи оценителят, когато увеличаваме извадката, но това увеличение клони към безкрайност. Като се има предвид това, ние правим приблизително и от 20 наблюдения в проба (n ≥ 20), асимптотичният анализ е подходящ.

Математически дефинираме Q₁n като оценка на φ от произволна случайна извадка (x₁, х₂, х₃,…, Х_н) от размера (н). Така че, можем да кажем, че Q_н е последователна оценка на φ, ако:

Това ни казва, че разликите между оценителя и неговата стойност на популацията, | Q_н - φ |, те трябва да са по-големи от нула. За това го изразяваме в абсолютна стойност. Вероятността за тази разлика клони към 0 (става все по-малка и по-малка), когато размерът на извадката (н) има тенденция към безкрайност (става все по-голяма и по-голяма).

С други думи, все по-малко вероятно е Q_н премества се твърде далеч от φ, когато размерът на извадката се увеличи.