Биномиално разпределение - какво е това, определение и понятие

Биномиалното разпределение е дискретно разпределение на вероятностите, което описва броя на успехите при провеждане на n независими експерименти върху случайна променлива..

Съществува голямо разнообразие от експерименти или събития, които могат да бъдат характеризирани при това разпределение на вероятностите. Представете си хвърляне на монета, в което определяме събитието „удряне на глави“ като успех. Ако хвърлим монетата 5 пъти и преброим попаденията (главите), които получаваме, нашето разпределение на вероятностите би се побрало в биномно разпределение.

Следователно, биномното разпределение се разбира като поредица от тестове или опити, при които можем да имаме само 2 резултата (успех или неуспех), като успехът е нашата случайна променлива.

Свойства на биномното разпределение

За да се счита, че случайна променлива следва биномно разпределение, тя трябва да отговаря на следните свойства:

• Във всяко изпитване, експеримент или тест са възможни само два резултата (успех или неуспех).
• Вероятността за успех трябва да бъде постоянна. Това е представено с буквата p. Вероятността за обръщане на глави на монети е 0,5 и това е константа, тъй като монетата не се променя при всеки експеримент и вероятностите за глави са постоянни.
• Вероятността за отказ също трябва да бъде постоянна. Това е представено с буквата q = 1-p. Важно е да се отбележи, че чрез това уравнение, знаейки p или знаейки q, можем да получим това, което ни липсва.
• Резултатът, получен при всеки експеримент, е независим от предишния. Следователно това, което се случва във всеки експеримент, не засяга следните.
• Събитията се взаимно изключват, тоест и двете не могат да се случат едновременно. Не е възможно да сте мъж и жена едновременно или че при хвърлянето на монета тя ще излезе едновременно с глави и опашки.
• Събитията са колективно изчерпателни, тоест трябва да се случи поне едно от 2-те. Ако не сте мъж, вие сте жена и ако хвърлите монета, ако тя не се появи, трябва да е опашка.
• Случайната променлива, която следва биномно разпределение, обикновено се представя като X ~ (n, p), където n представлява броя на опитите или експериментите и p вероятността за успех.

Формула на биномното разпределение

Формулата за изчисляване на нормалното разпределение е:

Където:

n = Брой опити / експерименти

x = брой успехи

p = вероятност за успех

q = Вероятност за повреда (1-p)

Важно е да се отбележи, че изразът в квадратни скоби не е матричен израз, а е резултат от комбинатор без повторение. Това се получава със следната формула:

Удивителният знак в предходния израз представлява факториалния символ.

Пример за биномно разпределение

Нека си представим, че 80% от хората по света са видели финалния мач от последното световно първенство по футбол. След събитието се срещат 4 приятели, за да разговарят. Каква е вероятността 3 от тях да са видели играта?

Нека дефинираме променливите на експеримента:

n = 4 (е общата проба, която имаме)

x = брой успехи, което в този случай е равно на 3, тъй като търсим вероятността 3 от 4-те приятели да са го видели.

p = вероятност за успех (0,8)

q = вероятност за повреда (0,2). Този резултат се получава чрез изваждане на 1-p.

След като дефинираме всички наши променливи, ние просто заместваме във формулата.

Числителят на факториала ще бъде получен чрез умножаване на 4 * 3 * 2 * 1 = 24 и в знаменателя ще имаме 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Следователно резултатът от факториала ще бъде 24/6 = 4 .
Извън скобата имаме две числа. Първият би бил 0,8 3 = 0,512, а вторият 0,2 (тъй като 4-3 = 1 и всяко число, повишено до 1, е същото).

Следователно крайният ни резултат ще бъде: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Ако умножим по 100, имаме 40,96% вероятност 3 от 4-те приятели да са видели финалната среща на Световната купа.