Вектори и собствени стойности - какво е това, определение и понятие

Собствените вектори са вектори, умножени по собствена стойност при линейните трансформации на матрица. Собствените стойности са константи, които умножават собствените вектори в линейните трансформации на матрица.

С други думи, собствените вектори преобразуват информацията от оригиналната матрица в умножение на стойности и константа. Собствените стойности са тази константа, която умножава собствените вектори и участва в линейната трансформация на оригиналната матрица.

Въпреки че името му на испански е много описателно, на английски се наричат ​​собствените вектори собствени вектори и собствените стойности, собствени стойности.

Препоръчителни статии: матрични типологии, обратна матрица, детерминанта на матрица.

Собствени вектори

Собствените вектори са набори от елементи, които чрез умножаване на всяка константа са еквивалентни на умножението на оригиналната матрица и наборите от елементи.

Математически, собствен векторV= (v₁, …, V_н) на квадратна матрицаВъпрос: е всеки векторV което удовлетворява следния израз за всяка константаз:

QV = hV

Собствени стойности

Константата з е собствената стойност, която принадлежи на собствения вектор V.

Собствените стойности са реалните корени (корени, които имат реални числа като решение), които намираме чрез характеристичното уравнение.

Характеристики на собствените стойности

• Всяка собствена стойност има безкрайни собствени вектори, тъй като има безкрайни реални числа, които могат да бъдат част от всеки собствени вектори.
• Те са скалари, те могат да бъдат комплексни числа (не реални) и могат да бъдат идентични (повече от една равна собствена стойност).
• Има толкова собствени стойности, колкото са и редовете (м) или колони (н) има оригиналната матрица.

Вектори и собствени стойности

Има линейна зависимост на зависимостта между вектори и собствени стойности, тъй като собствените стойности умножават собствените вектори.

Математически

Ако V е собствен вектор на матрицатаZ. Y. з е собствената стойност на матрицата Z., тогаваhV е линейна комбинация между вектори и собствени стойности.

Характерна функция

Характерната функция се използва за намиране на собствените стойности на матрицаZ. квадрат.

Математически

(Z - hl) V = 0

Където Z.Y.з са дефинирани по-горе иАз е матрицата на идентичността.

Условия

За да намерите вектори и собствени стойности на матрица, тя трябва да бъде удовлетворена:

• Матрица Z. квадрат: броят на редовете (м) е същият като броя на колоните (н).
• Матрица Z. истински. Повечето матрици, използвани във финансите, имат истински корени. Какво предимство има в използването на истински корени? Е, собствените стойности на матрицата никога няма да бъдат комплексни числа и това, приятели, решава живота ни много.
• Матрица (Z.- hI) необратим: детерминанта = 0. Това условие ни помага винаги да намираме собствени вектори, различни от нула. Ако намерим собствени вектори, равни на 0, тогава умножението между стойности и собствени вектори би било нула.

Практически пример

Предполагаме, че искаме да намерим векторите и собствените стойности на aZ. Матрица с размери 2 × 2:

1. Заместваме матрицата Z. Y.Аз в характеристичното уравнение:

2. Ние определяме факторите:

3. Умножаваме елементите така, сякаш търсим детерминанта на матрицата.

4. Решението на това квадратно уравнение е h = 2 и h = 5. Две собствени стойности, тъй като броят на редовете или колоните в матрицата Z. е 2. И така, намерихме собствените стойности на матрицата Z. които от своя страна правят детерминанта 0.

5. За да намерим собствените вектори, ще трябва да решим:

6. Например, (ст₁, с₂) = (1,1) за h = 2 и (v₁, с₂) = (- 1,2) за h = 5: