Собствените вектори са вектори, умножени по собствена стойност при линейните трансформации на матрица. Собствените стойности са константи, които умножават собствените вектори в линейните трансформации на матрица.
С други думи, собствените вектори преобразуват информацията от оригиналната матрица в умножение на стойности и константа. Собствените стойности са тази константа, която умножава собствените вектори и участва в линейната трансформация на оригиналната матрица.
Въпреки че името му на испански е много описателно, на английски се наричат собствените вектори собствени вектори и собствените стойности, собствени стойности.
Препоръчителни статии: матрични типологии, обратна матрица, детерминанта на матрица.
Собствени вектори
Собствените вектори са набори от елементи, които чрез умножаване на всяка константа са еквивалентни на умножението на оригиналната матрица и наборите от елементи.
Математически, собствен векторV= (v1, …, Vн) на квадратна матрицаВъпрос: е всеки векторV което удовлетворява следния израз за всяка константаз:
QV = hV
Собствени стойности
Константата з е собствената стойност, която принадлежи на собствения вектор V.
Собствените стойности са реалните корени (корени, които имат реални числа като решение), които намираме чрез характеристичното уравнение.
Характеристики на собствените стойности
- Всяка собствена стойност има безкрайни собствени вектори, тъй като има безкрайни реални числа, които могат да бъдат част от всеки собствени вектори.
- Те са скалари, те могат да бъдат комплексни числа (не реални) и могат да бъдат идентични (повече от една равна собствена стойност).
- Има толкова собствени стойности, колкото са и редовете (м) или колони (н) има оригиналната матрица.
Вектори и собствени стойности
Има линейна зависимост на зависимостта между вектори и собствени стойности, тъй като собствените стойности умножават собствените вектори.
Математически
Ако V е собствен вектор на матрицатаZ. Y. з е собствената стойност на матрицата Z., тогаваhV е линейна комбинация между вектори и собствени стойности.
Характерна функция
Характерната функция се използва за намиране на собствените стойности на матрицаZ. квадрат.
Математически
(Z - hl) V = 0
Където Z.Y.з са дефинирани по-горе иАз е матрицата на идентичността.
Условия
За да намерите вектори и собствени стойности на матрица, тя трябва да бъде удовлетворена:
- Матрица Z. квадрат: броят на редовете (м) е същият като броя на колоните (н).
- Матрица Z. истински. Повечето матрици, използвани във финансите, имат истински корени. Какво предимство има в използването на истински корени? Е, собствените стойности на матрицата никога няма да бъдат комплексни числа и това, приятели, решава живота ни много.
- Матрица (Z.- hI) необратим: детерминанта = 0. Това условие ни помага винаги да намираме собствени вектори, различни от нула. Ако намерим собствени вектори, равни на 0, тогава умножението между стойности и собствени вектори би било нула.
Практически пример
Предполагаме, че искаме да намерим векторите и собствените стойности на aZ. Матрица с размери 2 × 2:
1. Заместваме матрицата Z. Y.Аз в характеристичното уравнение:
2. Ние определяме факторите:
3. Умножаваме елементите така, сякаш търсим детерминанта на матрицата.
4. Решението на това квадратно уравнение е h = 2 и h = 5. Две собствени стойности, тъй като броят на редовете или колоните в матрицата Z. е 2. И така, намерихме собствените стойности на матрицата Z. които от своя страна правят детерминанта 0.
5. За да намерим собствените вектори, ще трябва да решим:
6. Например, (ст1, с2) = (1,1) за h = 2 и (v1, с2) = (- 1,2) за h = 5:
