Функционални уравнения са тези, които имат друга функция като неизвестна. Функция, която може да бъде свързана с алгебрична операция като събиране, изваждане, деление, умножение, степен или корен.
Функционалните уравнения също могат да бъдат дефинирани като тези, които не могат лесно да се сведат до алгебрична функция от типа f (x) = 0, за тяхната разделителна способност.
Функционалните уравнения се характеризират, защото няма единствен начин за тяхното решаване. Освен това въпросната променлива може да приема различни стойности (ще я видим с примери).
Примери за функционални уравнения
Някои примери за функционални уравнения са:
f (xy) = f (x). f (y)
f (x2+ и2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
В случаи като предишните може да се добави, например, че x принадлежи към множеството реални числа, тоест x ∈ R (нула може да бъде изключена).
Примери за функционални уравнения
Нека да видим няколко примера за решени функционални уравнения:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Така че, ако заменя x с 1 / 2x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1/16x)
Сега, нека да видим друг пример с малко повече трудност, но където ще продължим по подобен начин:
х2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
В този случай първо решаваме за f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Сега замествам x с 5-x в уравнение 1:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
Помним, че f (5-x) е в уравнение 2:
(25-10x + x2). (х2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ х4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Функционално уравнение на Коши
Функционалната функция на Коши е една от най-основните по рода си. Това уравнение има следната форма:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Ако приемем, че x и y са в множеството рационални числа, решението на това уравнение ни казва, че f (x) = cx, където c е всяка константа и същото се случва с f (y).