Разликата между вдлъбната и изпъкнала може да се обясни както следва → Терминът изпъкнала се отнася до факта, че повърхността има вътрешна кривина, докато ако е вдлъбната, кривината би била навън.
По този начин можем да го опишем по друг начин. Централната част на изпъкнала повърхност е по-депресирана или депресирана. От друга страна, ако беше вдлъбната, тази централна част щеше да изпъкне.
За да го разберем по-добре, можем да посочим няколко примера. Първо, класическият случай на сфера, чиято повърхност е изпъкнала. Ако обаче го разрежем на две и запазим долната половина, ще имаме изпъкнал обект с провисване (ако приемем, че вътрешността на сферата е празна).
Друг пример за вдлъбнатина би била планина, тъй като тя е известна по отношение на земната повърхност. Напротив, кладенецът е вдлъбнат, тъй като влизането в него предполага потъване, под нивото на земната повърхност.
Трябва също така да се отбележи, че за да се определи обект като вдлъбната или изпъкнала перспектива също трябва да се вземе предвид. Така чинията за супа, например, когато е готова за сервиране, е изпъкнала, има увисналост. Ако обаче го обърнем, плочата ще бъде вдлъбната.
Ако анализираме например параболи, те са изпъкнали, ако имат U-образна форма, но вдлъбнати, ако имат обърната U-образна форма.
Вдлъбнати и изпъкнали функции
Ако втората производна на функция е по-малка от нула в дадена точка, тогава функцията е вдлъбната в тази точка. От друга страна, ако е по-голямо от нула, то е изпъкнало в тази точка. Горното може да бъде изразено по следния начин:
Ако f »(x) <0, f (x), тя е вдлъбната.
Ако f »(x)> 0, f (x) е изпъкнала.
Например в уравнението f (x) = x2+ 5x-6, можем да изчислим първата му производна:
f '(x) = 2x + 5
След това намираме втората производна:
f »(x) = 2
Следователно, тъй като f »(x) е по-голямо от 0, функцията е изпъкнала за всяка стойност на x, както виждаме на графиката по-долу:
Сега да видим случая на тази друга функция: f (x) = - 4x2+ 7x + 9.
f '(x) = - 8x + 7
f »(x) = - 8
Следователно, тъй като второто производно е по-малко от 0, функцията е вдлъбната за всяка стойност на x.
Но сега нека разгледаме следното уравнение: -5 x3+ 7x2+5 x-4
f '(x) = - 15x2+ 14x + 5
f »(x) = - 30x + 14
Поставяме втората производна равна на нула:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Така че, когато x е по-голямо от 0,4667, f »(x) е по-голямо от нула, така че функцията е изпъкнала. Докато ако x е по-малко от 0,4667, функцията е вдлъбната, както виждаме на графиката по-долу:
Изпъкнал и вдлъбнат многоъгълник
Изпъкнал многоъгълник е този, при който две от неговите точки могат да бъдат съединени, като се изчертава права линия, която остава във фигурата. По същия начин вътрешните ъгли са по-малки от 180º.
От друга страна, вдлъбнат многоъгълник е този, при който, за да се присъединят две от неговите точки, трябва да се направи права линия, която е извън фигурата, като това е външен диагонал, който свързва два върха. Освен това поне един от вътрешните ъгли е по-голям от 180º.
Можем да видим сравнение на изображението по-долу:
