Математическото очакване на случайна променлива X е числото, което изразява средната стойност на явлението, което тази променлива представлява.
Математическото очакване, наричано още очакваната стойност, е равно на сумата от вероятностите, че съществува случайно събитие, умножена по стойността на случайното събитие. С други думи, това е средната стойност на набор от данни. Това, като се има предвид, че терминът математическо очакване е измислен от теорията на вероятността.
Докато в математиката средната стойност на дадено събитие се нарича математическа средна стойност. При дискретни разпределения със същата вероятност във всяко събитие аритметичната средна стойност е същата като математическото очакване.
Пример за математическо очакване
Нека да видим прост пример, за да го разберем.
Нека си представим монета. Две глави, глави и опашки. Какво би било математическото очакване (очакваната стойност), че ще излезе главите?
Математическото очакване ще бъде изчислено като вероятност, че като обърнете монетата много голям брой пъти, тя ще се появи.
Тъй като монетата може да кацне само в една от тези две позиции и двете имат еднаква вероятност да излязат, ще кажем, че математическото очакване, че тя ще излезе главите е едно от две, или което е същото, 50% от времето.
Ще направим тест и ще обърнем монета 10 пъти. Да предположим, че монетата е перфектна.
Завъртания и резултат:
- Скъпи.
- Кръст.
- Кръст.
- Скъпи.
- Кръст.
- Скъпи.
- Скъпи.
- Скъпи.
- Кръст.
- Кръст.
Колко пъти са били глави (броим C-тата)? 5 пъти Колко пъти са излизали опашките (броим Х)? 5 пъти. Вероятността да бъдете глави ще бъде 5/10 = 0,5 или като процент 50%.
След като това събитие настъпи, можем да изчислим математическата средна стойност на броя на настъпванията на всяко събитие. Скъпата страна излиза по един на всеки два пъти, т.е. 50% от времето. Средната стойност съответства на математическите очаквания.
Изчисляване на математическото очакване
Математическото очакване се изчислява, като се използва вероятността за всяко събитие. Формулата, която формализира това изчисление, се посочва, както следва:
Където:
- х = стойност на събитието.
- P = Вероятност да се случи.
- i = Период, в който се случва това събитие.
- н = Общ брой периоди или наблюдения.
Вероятността да се случи събитие не винаги е еднаква, както при монетите. Има безброй случаи, при които едно събитие е по-вероятно да излезе от друго. Ето защо използваме P. Във формулата трябва да умножим и по стойността на събитието при изчисляване на математически числа. По-долу виждаме пример.
За какво се използва математическото очакване?
Математическото очакване се използва във всички онези дисциплини, в които присъствието на вероятностни събития им е присъщо. Дисциплини като теоретична статистика, квантова физика, иконометрия, биология или финансови пазари. Голям брой процеси и събития, които се случват в света, са неточни. Ясен и лесен за разбиране пример е този на фондовия пазар.
На фондовия пазар всичко се изчислява въз основа на очакваните стойности.Защо очаквани стойности? Защото това е, което се надяваме да се случи, но не можем да го потвърдим. Всичко се основава на вероятности, а не на сигурност. Ако очакваната стойност или математическото очакване на възвръщаемостта на даден актив е 10% годишно, това означава, че въз основа на информацията, която имаме от миналото, е най-вероятно възвръщаемостта отново да бъде 10%. Ако вземем предвид само, разбира се, математическите очаквания като метод за вземане на нашите инвестиционни решения.
В рамките на теориите за финансовия пазар мнозина използват тази концепция за математически очаквания. Сред тези теории е тази, която Марковиц е разработил върху ефективни портфейли.
В цифри, опростявайки много, да предположим, че възвръщаемостта на финансов актив е следната:
Рентабилност през години 1, 2, 3 и 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Очакваната стойност ще бъде сумата от възвръщаемостта, умножена по тяхната вероятност да се случи. Вероятността всяка рентабилност да се "случи" е 0,25. Имаме четири наблюдения, четири години. Всяка година те имат еднаква вероятност да се повторят.
Надежда = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Като вземем предвид тази информация, ще кажем, че очакването на възвръщаемостта на актива е 11,25%.
Продължителност на живота