Ковариацията е стойността, която отразява с това колко две случайни променливи варират заедно по отношение на техните средства.
Позволява ни да знаем как се държи променлива въз основа на това, което прави друга променлива. Тоест, когато X се издигне, как се държи Y? По този начин ковариацията може да приеме следните стойности:
Ковариацията (X, Y) е по-малка от нула, когато „X“ се покачи и „Y“ намали. Има негативна връзка.
Ковариацията (X, Y) е по-голяма от нула, когато "X" се покачи и "Y" се покачи. Има положителна връзка.
Ковариацията (X, Y) е равна на нула, когато няма връзка между променливите "X" и "Y".
Изчисляване на ковариацията
Формулата на ковариацията се изразява, както следва:
Където y с ударение е средната стойност на променливата Y, а x с ударението е средната стойност на променливата X. „i“ е позицията на наблюдението, а „n“ общият брой наблюдения.
Като алтернатива, когато абсолютните честоти не са унитарни (т.е. двойките i, j се повтарят поне веднъж), приложимата формула е следната:
Свойства на ковариацията
При работа с него трябва да се вземат предвид свойствата, които притежава и които се извеждат от дефиницията за ковариация:
- Cov (X, b) = 0, където b в този случай е константа.
- Cov (X, X) = Var (X), т.е. ковариацията на променлива и сама по себе си е равна на дисперсията на променливата.
- Cov (X, Y) = Cov (Y, X) ковариацията е еднаква, независимо от реда, в който ги поставяме.
- Cov (bX, cY) = c · b · Cov (X, Y), където b и c са две константи. Ковариацията на две променливи, умножена по произволни две константи, е равна на ковариацията на двете променливи, умножена по умножението на константите.
- Cov (b + X, c + Y) = Cov (X, Y) добавянето на всякакви две константи към всяка променлива не влияе на ковариацията.
- Cov (X, Y) = E (X · Y) - E (X) · E (Y) или това, което е същото, ковариацията е равна на очакването на произведението на двете променливи минус произведението на двете очаквания поотделно.
Разширяване на предишните свойства, в случай че две променливи са независими. Тоест те нямат никаква статистическа връзка, вярно е, че:
E (X · Y) = E (X) · E (Y)
С други думи, очакването на произведението на две променливи е равно на произведението на двете отделни очаквания на споменатите променливи.
РангПример за ковариацията
Да предположим, че имаме следните данни за X и Y.
Как да тълкуваме този резултат?
Това 4 ни казва, че е по-голямо от нула, че тези две променливи имат положителна връзка. За да знаем коригираната връзка между двете променливи, трябва да изчислим линейната корелация. Две ковариации на различни променливи не са сравними, тъй като стойността на ковариацията е абсолютна стойност, която зависи от мерната единица на променливите.
Коефициент на линейна корелацияМатематическа надежда
