Дисперсионно-ковариационната матрица е квадратна матрица с размерност nxm, която събира дисперсиите в главния диагонал и ковариациите в елементите извън основния диагонал.
С други думи, дисперсионно-ковариантната матрица е матрица, която има еднакъв брой редове и колони и има дисперсиите, разпределени по главния диагонал и ковариациите върху елементите извън основния диагонал.
КовариацияПредставяне на матрицата
Дисперсионно-ковариантната матрица обикновено се изразява като
Въпреки че изглежда, че това е символът на сумирането и че няма отношение към дисперсионно-ковариационната матрица, тази гръцка буква напълно представя съдържанието на тази матрица.
За да го разберем, нека първо разгледаме неговия израз:
Знаейки, че има м колони, многоточието показва, че колоните между втората и последната колона са пропуснати. По същия начин, знаейки, че има н редове, елипсата показва, че редовете между втория и последния ред са пропуснати.
В този случай използваме сигма, за да представим ковариациите и сигма на квадрат за дисперсиите. Като пример:
Каква гръцка буква се появява във всички елементи на матрицата? Сигмата.
Така че, логично е, за да се дефинира дисперсионно-ковариантната матрица, също се използва сигма.
Гръцко писмо
е капиталовата форма на
Така че, ако си спомним, че дисперсионно-ковариантната матрица се изразява като главна буква на сигма, ще бъде по-лесно да запомним нейната дефиниция.
Изисквания тя да бъде дисперсионно-ковариационна матрица
Изискванията за матрица да бъде вариационно-ковариационна са следните:
- Квадратна матрица: същия брой редове (n) като колони (m), тогава, n = m и следователно размерът на тази матрица може да бъде изразен както nxm, така и nxn.
- В главен диагонал има отклонения:
- Извън главния диагонал има ковариации:
Приложение
Дисперсионно-ковариационната матрица е много популярна в иконометрията, тъй като се използва главно за изчисляване на матрицата на коефициентите на линейна регресия, използвайки обикновени най-малки квадрати, наред с други приложения.
Във финансите се използва, за да се получи обща картина на променливостта на финансовите активи.
Математически израз на дисперсия и ковариация
Математиката се изразява по следния начин:
- Ковариация на елемента n = 1 и m = 2
- Дисперсия на елемента n = 1 и m = 1
Както дисперсията, така и ковариацията могат да бъдат коригирани. Тоест знаменателят е n-1 вместо n. Това се дължи на степента на свобода и зависи от това дали говорим за популации или пробни отклонения и ковариации.