Теоремата на Дармуа е теорема, която позволява да се намери статистически T за параметър θ със свойството достатъчен.
С още по-прости думи тя позволява намирането на математическия израз, ако има такъв, на достатъчна статистика.
Във връзка с критерия за факторинг на Фишър-Нейман можем да помислим. Критерият за факторинг на Fisher-Neyman служи както за проверка дали дадена статистика отговаря на свойството достатъчен, така и за намиране на математическия израз на достатъчна статистика (ако съществува). За разлика от тях, теоремата на Дармоа позволява само намирането на математически израз (ако той съществува) на достатъчна статистика.
Да кажем, че докато критерият за факторинг на Fisher-Neyman се движи напред (търсене) и назад (проверка), теоремата на Дармуа се движи само напред (търсене).
Формула на теоремата на Дармуа
Теоретично тя се изразява, като се даде проста случайна извадка от произволна променлива X с функция на плътността f (x; θ) с θ ∈ Ω. Ако тази функция принадлежи към експоненциалното семейство, тоест тя може да бъде изразена така, че:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Тогава статистиката T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
За улесняване на изчисленията обикновено се извършва логаритмично означаване:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Разбира се, трудно е да се разбере цялата тази математическа нотация. Появяват се много неизвестни, много букви, много оператори. Нека го предефинираме с разговорни думи. За тази цел ще започнем с теоретичната дефиниция, приложена към пример:
Да предположим случайна извадка от 50 деца (обикновена произволна извадка), към която питаме колко пари харчат седмично за сладкиши (произволна променлива X) с дадена функция на плътността (вижте функцията за плътност). Така че, ако тази функция на плътността можем да я изразим както следва:
Ще установим, че достатъчната статистика е сумата от израза a (x)
Частите на формулата са дефинирани както следва:
- lnβ (θ): Това е функция, която зависи само от параметъра (в нашия случай средната стойност)
- lnb (x): Това е функция, която зависи само от случайната променлива X
- a (x): Това е функция, която зависи само от X и умножава α (θ)
- α (θ): Това е функция, която зависи само от параметъра (в нашия случай средната стойност)
Теорема на Дармоа на практика
Въпреки че всички имаме способността и инструментите да откриваме нови статистически данни, това рядко е норма. С други думи, професори по икономика и експерти в областта правят изследвания по тези теми.
В личен план е трудно да се намери някой, който е посветен да прави този тип изследвания. По този начин на практика важното в тази теорема е да разберем откъде идват тези статистически данни, които използваме.
Например, за да открие някой, че средната стойност е достатъчна статистика, вероятно е използвал този процес.