Теоремата на Байес се използва за изчисляване на вероятността от събитие, като предварително има информация за това събитие.
Можем да изчислим вероятността за събитие A, като знаем също, че A изпълнява определена характеристика, която определя неговата вероятност. Теоремата на Байес разбира вероятността обратно на теоремата за общата вероятност. Теоремата за общата вероятност прави заключение за събитие B от резултатите от събития A. От своя страна Байес изчислява вероятността за A, зависима от B.
Теоремата на Байес е широко поставяна под въпрос. Което се дължи главно на лошото му приложение. Тъй като, докато са изпълнени предположенията за несъединени и изчерпателни събития, теоремата е напълно валидна.
Формула на Байесова теорема
За да изчислим вероятността, както е определена от Bayes в този тип събитие, ни е необходима формула. Формулата е математически дефинирана като:
Където B е събитието, за което имаме предишна информация, а A (n) са различните обусловени събития. В частта на числителя имаме условната вероятност, а в долната част общата вероятност. Във всеки случай, въпреки че формулата изглежда малко абстрактна, тя е много проста. За да демонстрираме това, ще използваме пример, където вместо A (1), A (2) и A (3), ще използваме директно A, B и C.
Пример за теорема на Байес
Фирма има завод в САЩ, който разполага с три машини, A, B и C, които произвеждат контейнери за бутилки с вода. Известно е, че машината A произвежда 40% от общото количество, машина B 30% и машина C 30%. Също така е известно, че всяка машина произвежда дефектни опаковки. По такъв начин, че машина A произвежда 2% от дефектни опаковки от общото си производство, машина B 3% и машина C 5%. Въпреки това възникват два въпроса:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Ако контейнерът е произведен от фабриката на тази компания в САЩ, каква е вероятността той да е дефектен?
Изчислява се общата вероятност. Тъй като от различните събития изчисляваме вероятността тя да е дефектна.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Изразено като процент, бихме казали, че вероятността контейнер, произведен от фабриката на тази компания в САЩ, да е дефектен, е 3,2%.
2. Продължавайки към предишния въпрос, ако контейнерът е придобит и той е дефектен, каква е вероятността той да е произведен от машина A? И от машина B? И от машина C?
Тук е използвана теоремата на Байес. Имаме предварителна информация, тоест знаем, че опаковката е дефектна. Разбира се, знаейки, че тя е дефектна, искаме да знаем каква е вероятността тя да е произведена от една от машините.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Знаейки, че контейнерът е дефектен, вероятността той да е произведен от машина А е 25%, че е произведен от машина Б е 28% и че е произведен от машина С е 47%.