Центърът на тежестта на триъгълника е точката, където се пресичат медианите на фигурата. Известен е още като центроид.
Трябва да се помни, че медианата е сегментът, който свързва върха на триъгълника със средната точка на противоположната му страна. По този начин всеки триъгълник има три медиани.
Например в триъгълника по-горе центърът на тежестта е точка O, като медианите са сегментите AF, BD и CE.
Важно свойство на центъра на тежестта е, че разстоянието му от всеки връх е два пъти по-голямо от разстоянието от противоположната страна.
За да се обясни по-добре, във всяка медиана могат да се разграничат две части:
- Разстоянието от върха до центъра на тежестта, което е 2/3 от дължината на медианата
- Останалата 1/3, което е разстоянието от центъра на тежестта до средната точка на противоположната страна.
В изображението по-горе например е вярно, че:
Как да намерим центъра на тежестта на триъгълник
За да намерим центъра на тежестта на триъгълника, трябва да вземем предвид, че, знаейки координатите на трите върха на триъгълника, координатите на центъра на тежестта съответстват на средната му аритметична стойност. И така, да предположим, че върховете са:
Тогава координатите на центъра на тежестта, който ще наречем О, ще бъдат:
Също така е възможно да се намери центърът на тежестта, ако имаме уравненията на линиите, които съдържат поне две от медианите.
Спомнете си, че в аналитичната геометрия права може да бъде изразена като алгебрично уравнение от първи ред като:
y = xm + b
В показаното уравнение y е координатата на оста на ординатите (вертикална), x е координатата на оста на абсцисата (хоризонтална), m е наклонът (наклонът), който образува линията по отношение на оста на абсцисата, а b е точката, където линията пресича оста на ординатите.
За да разберем по-добре горното, нека разгледаме един пример.
Пример за център на тежестта
Да предположим, че имаме триъгълник, от който знаем два негови върха:
A (0,4) и B (-2,1)
По-нататък е известно, че средната точка на страната, противоположна на върха A, е (3,1), а средната точка на страната, противоположна на върха B, е (4, 2,5). Струва си да се изясни, че използваме точка и запетая, за да не се бърка със запетая, която разделя десетичните знаци.
Първо ще намерим уравнението на линията, която съдържа медианата, която започва от връх А, като се има предвид, че наклонът при преминаване от една точка в друга винаги трябва да бъде еднакъв. Наклонът е вариацията във вертикалната ос между вариацията в хоризонталната ос:
Това, което направихме, е да приемем, че линията преминава през точка (x1, y1), която е върхът A (0, 4), и през точката (x2, y2), която е средната точка на противоположната й страна (3, 1).
След това правим същото с връх В (-2,1) и средната точка на противоположната му страна (-4, -2,5):
Следващата стъпка изравняваме дясната страна на двете уравнения, намерени за решаване на стойността по оста X, когато двете съвпадат:
След това решаваме във всяко от уравненията, за да намерим стойността на y:
Следователно центърът на тежестта на триъгълника е точката (2,2) в декартовата равнина.