Моделът ARMA е стационарен авторегресивен модел, при който независимите променливи следват стохастичните тенденции, а терминът за грешка е неподвижен.
С други думи, ARMA моделът включва автокорелация и модела на плъзгащата се средна в своята регресия.
Препоръчани статии: теория на произволно ходене, условна средна стойност, авторегресия.
Значение на ARMA
Моделът ARMA, от английски, Авторегресивна пълзяща средна той е разделен на две части:
- Авторегресивно: Зависимата променлива се връща към себе си за определен период от времеT.
- Плъзгаща средна: Неуспехите са представени от случайни процеси.
AR модел
Математически
1. Започваме от AR (p) авторегресивния модел:
Където:
С други думи, терминът за грешка следва стохастичен процес (случайна променлива).
2. Установяваме следното равенство:
4. Заместваме предишното равенство в AR (p) и получаваме:
4. Определяме нов полином, който зависи от R:
Тогава,
Ако умножим новия полином по XT и предаваме всички параметри и регресори отляво на равенството, ще получим първоначалната AR (p).
От авторегресивния модел ни остава последното уравнение:
Това е приносът на авторегресивния модел към модела ARMA.
Плъзгащ среден модел
Моделът на плъзгаща се средна е авторегресия, където регресорите са условията за грешка за всеки периодT.
Математически
1. Започваме от авторегресивния модел AR (p), където регресорите са терминът за грешка:
Подобно на модела за авторегресия, терминът за грешка следва стохастичен процес (случайна променлива), така че:
Моделът на плъзгащата се средна винаги е неподвижен, т.е. независимите променливи (изоставащи термини за грешка) са случайни променливи. С други думи, условията за грешка от предходния период са независими от настоящите условия за грешка и имат еднакво (идентично) разпределение на вероятността със средна стойност 0 и условна дисперсия.
2. Установяваме следното равенство:
3. Заместваме предишното равенство в AR (p) на термина за грешка и получаваме:
4. Определяме нов полином, който зависи от E:
Вземаме общ фактор:
От модела на плъзгащата се средна ни остава уравнението на точка 4:
Моделът ARMA (p, q)
Математически
Общият авторегресивен модел на времеви редове с плъзгаща се средна стойностстр авторегресивни термини иКакво Плъзгащите средни термини се изразяват като:
Не се паникьосвай! Можем ли да опростим нещо?
Винаги можете да опростите нещата. Спомняме си уравненията, които сме подчертавали преди:
Авторегресивен модел
Плъзгаща средна модел
Така че, можем да видим, че ARMA моделът е просто комбинация от авторегресивния модел и модела на плъзгащата се средна (маркиран в жълто).