Най-големият общ делител (GCF) е най-големият брой, на който могат да се разделят две или повече числа. Това, без да оставя остатък.
Тоест, най-големият общ делител или GCF е най-високата цифра, чрез която може да се раздели набор от числа, което води до цяло число.
Делителят може да бъде официално дефиниран като това число, което се съдържа в друго точно количество n пъти.
Трябва да се отбележи, че числата, върху които се изчислява GCF, трябва да са ненулеви.
За да го обясним по-добре, нека разгледаме един пример. Да предположим, че имаме 35 и 15. По този начин наблюдаваме какви са делителите на всеки от тях:
- Делители на 35 → 35,7,5,1
- Делители на 15 → 15,5,3,1
Следователно най-големият общ фактор от 35 и 15 е 5.
Струва си да се спомене, че ако общите делители на две числа са само 1 и -1, те се наричат „прости помежду си“.
Методи за изчисляване на най-големия общ делител
Можем да различим следните три метода за изчисляване на най-големия общ делител:
- Разлагане на главен фактор: Числата се разлагат на прости числа. След това, за да изчислим GCF, вземаме общите числа, издигнати до най-ниската степен. Да предположим например, че имаме 216 и 156:
216/2=108
108/2=54
54/2=27
27/3=9
9/3=3
3/3=1
216=(3^3)*(2^3)
156/2=78
78/2=39
39/3=13
13/13=1
156=13*3*(2^2)
Следователно най-големият общ делител между двете числа ще бъде: (2 2) * 3 = 12
Сега да предположим, че имаме три елемента: 315, 441 и 819
315= (3^2)*7*5
441= (3^2)*(7^2)
819= (3^2)*7*13
След това, след като ги дезагрегира, като вземе всеки делител с най-ниската степен, резултатът ще бъде:
GCF = (3 2) * 7 = 63
- Алгоритъм на Евклид: При разделяне да се Влез б, се получава коефициент ° С и а r. И така, най-големият общ делител на да се Y. б е същото като б Y. r. Това, като се има предвид следното: a = bc + r. За да го разберем по-добре, нека приложим този метод към примера, показан преди с 216 и 156.
216/156 = 1 с остатък от 60
сега разделяме 156/60 = 2 с остатък 36
Разделяме отново 60/36 = 1 с остатък 24
За пореден път разделяме 36/24 = 1 с остатък 12
И накрая разделяме 24/12 = 2 с остатък 0
Следователно най-големият общ делител е 12. Както виждаме, трябва да разделим, докато остатъкът е 0 и последният делител ще бъде GCF.
- Въз основа на най-рядко срещаното кратно: Числата се умножават и резултатът се разделя на най-малкото им общо кратно (LCM).
Трябва да помним, че най-малкото общо кратно (LCM) е най-малкото число, което отговаря на условието да бъде кратно на всички елементи от набор от числа.
Тоест, връщайки се към същия пример, можем да разложим, както следва:
216 = (3 3) * (2 3) и 156 = 13 * 3 * (2 2) 204 = 3 * (2 2) * 17 168 = 3 * (2 3) * 7
Най-малкото често кратно би било: (3 3) * (2 3) * 13 * 17 * 7 = 334.152
И така: GCD = 216 * 156 / 2.808 = 12
Струва си да се спомене, че този метод работи само за две числа.