Неравенството на Чебишев - какво е то, определение и понятие

Неравенството на Чебишев е теорема, използвана в статистиката, която предоставя консервативна оценка (доверителен интервал) на вероятността случайна променлива с крайна дисперсия да бъде на определено разстояние от математическото очакване или нейното средно значение.

Формалният му израз е следният:

X = прогнозна стойност

µ = Математическо очакване на очакваната стойност

Ϭ = Стандартно отклонение на очакваната стойност

k = брой стандартни отклонения

Като се започне от този общ израз и се развие частта, която остава в рамките на абсолютната стойност, ще имаме следното:

Ако обърнем внимание на предишния израз, може да се види, че частта вляво е не повече от a доверителен интервал. Това ни предлага както долна, така и горна граница за прогнозната стойност. Следователно неравенството на Чебишев ни казва минималната вероятност параметърът на популацията да е в рамките на определен брой стандартни отклонения над или под средната стойност. Или казано по друг начин, това ни дава вероятността параметърът на популацията да е в рамките на този интервал на доверие.

Неравенството на Чебишев дава приблизителни граници за очакваната стойност. Въпреки че има определена степен на неточност, това е много полезна теорема, тъй като може да се приложи към широк спектър от случайни променливи, независимо от тяхното разпределение. Единственото ограничение, за да може да се използва това неравенство, е, че k трябва да бъде по-голямо от 1 (k> 1).

Пример за приложение на неравенството на Чебишев

Да предположим, че сме управители на инвестиционен фонд. Портфолиото, което управляваме, има средна възвръщаемост от 8,14% и стандартно отклонение от 5,12%. За да знаем например какъв процент от възвръщаемостта ни е поне 3 стандартни отклонения от средната ни рентабилност, просто бихме приложили предишната формула на израз 2.

k = 1,96

Заместване на стойността на k: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%

Това означава, че 73,9% от резултатите са в доверителния интервал, разположен при 1,96 стандартни отклонения от средната стойност.

Нека направим предишния пример за стойности, различни от k.

k = 2,46
k = 3

Заместване на стойността на k: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%

Заместване на стойността на k: 1- (1 / (3 2)) = 0.889 = 88.9%

Има 83,5% от данните, които са на разстояние от 2,46 стандартни отклонения от средната стойност и 88,9%, които са в рамките на 3 стандартни отклонения от средната стойност.

Използвайки неравенството на Чебишев, е лесно да се заключи, че колкото по-висока е стойността на K (колкото по-голямо е отклонението на прогнозната стойност от средната й стойност), толкова по-голяма е вероятността случайната променлива да е в рамките на ограничения интервал.