Теоремата на Талес е закон на геометрията, който ни казва, че ако се начертае права, успоредна на двете страни на триъгълник, ще имаме триъгълник, подобен на оригиналния триъгълник.
С други думи, ако изрежем триъгълник, като изчертаем линия, успоредна на една от страните му, ще получим триъгълник, подобен на съществуващия по-рано.
На този етап трябва да се отбележи, че два триъгълника са сходни, когато съответните им ъгли са съвпадащи (те измерват еднакви) и хомологичните им страни са пропорционални един на друг.
За да го разберем по-добре, нека разгледаме следната фигура:
По теоремата на Талес може да се заключи, че α = δ и β = ε
В допълнение, както споменахме по-рано, страните са пропорционални, така че е вярно, че:
Анекдот, свързан с историка Плутарх, разказва, че Талес от Милет, в едно от пътуванията си, използва тази теорема, за да знае височината на пирамидите в Гиза (тези на Хеопс, Кафре и Менкауре) в Египет. По този начин той реши да постави пръчка вертикално срещу земята, изчаквайки дължината на предмета да бъде равна на сянката, която хвърля. По това време сянката на пирамидата също би била равна на нейната височина. В този случай подобни триъгълници са:
- Този, чиито две страни са пръчката и нейната сянка.
- Триъгълникът, чиято страна е височината на пирамидата, а като друга страна - нейната сянка.
За да го разберем по-добре, нека си представим на фигурата по-горе, че пирамидата е тази, образувана от върховете D, E и F, нейната височина е сегментът HE и нейната сянка, IE. Междувременно пръчката е сегмент AB и нейната сянка, CB. Следователно AB / CB = HE / IE. Това, като се има предвид, че слънчевите лъчи са успоредни (те не се пресичат или при тяхното удължаване), така че те ще образуват същия ъгъл с пръчката, както при пирамидата (ъглите α и β са равни).
Пример за теорема на Фалес
За да разберем по-добре теоремата на Талес, нека разгледаме следната фигура:
Ако BC измерва 7,3 метра, DE - 3,6 метра, а AB - 6,2 метра. Каква е дължината на AD?
Изолираме във формулата, показана по-рано и имаме:
7,3 / 3,6 = 6,2 / AD
2.0278 = 6.2 / AD
AD = 3,0575 метра
Разширение на теоремата на Фалес
Теоремата на Талес може да бъде разширена до анализа на всякакви две линии, които са отрязани от други линии, успоредни една на друга, както виждаме на следващото изображение:
Тогава е вярно, че:
Това е вярно, защото трябва да мислим за тези линии като за част от триъгълник или, за да го разгледаме по друг начин, ако разширим линии AB и CD, те ще се пресекат. По-добре да го видим на следното изображение:
Втората теорема на Талес
Съществува и втора теорема на Фалес, според която, ако имаме триъгълник, образуван от диаметъра на обиколката и две линии, които го пресичат (те изрязват фигурата в две точки), този ъгъл, който е срещу диаметъра, е прав, т.е. ,, измерва 90º.
Трябва да се помни, че диаметърът е този сегмент, който, преминавайки през центъра на обиколката, съединява две противоположни точки на споменатата фигура.
Можем да видим горното по-добре на следното изображение:
Можем да проверим тази теорема, като вземем предвид, че AC, AD и AB измерват еднакво и са равни на радиуса на обиколката (радиусът е всеки сегмент, който свързва точка на обиколката с центъра на фигурата и е равен на половината диаметър). И така, триъгълниците ABC и ABD са равнобедрени и двете им страни, които са сходни, са противоположни ъгли, които също измерват еднакво, т.е.
AC = AD = AB = r (радиус на обиколката)
γ = β и α = δ
Тогава, ако видим триъгълника CBD и не забравяме, че вътрешните ъгли на триъгълника трябва да се добавят до 180º, имаме:
γ + β + α + δ = 180º
2β + 2α = 180º
2 (α + β) = 180º
α + β = 90º
Следователно триъгълникът на CBD е правоъгълен триъгълник.
